da spugna » 12/09/2017, 19:37
Hai scritto due cose che si contraddicono: se una singolarità è un polo semplice, il coefficiente di $z^(-1) $ nella serie di Laurent, e quindi anche il residuo, è diverso da $0$.
Ci sono più modi in cui puoi procedere:
1) calcolare il limite di $f $ nei punti che ti interessano: nel tuo caso $lim_(z -> 1) pi (cos (pi z)+1)/((z-1)(z+1))=lim_(w ->0) pi (1-cos (pi w))/(w (w+2))=lim_(w->0) (1-cos(pi w))/(pi w)^2 (pi^3 w)/(w+2)=1/2*0=0$, quindi per Riemann hai una singolarità eliminabile, che tra l'altro risulta essere uno zero;
2) trovare la serie di Laurent: come prima conviene porre $z=w+1$ e sviluppare in un intorno di $0$:
$pi*1/w*1/(w+2)*(1-cos (pi w))=pi*1/w*1/2 (1-w/2+w^2/4-...)*((pi^2 w^2)/2-(pi^4 w^4)/24+...)$
e si vede facilmente che la prima potenza di $w $ con coefficiente non nullo è $w^1$;
3) provare a calcolare qualche integrale, anche se in questo caso mi sembra proibitivo...
Ovviamente si fa tutto in modo analogo per $z=-1$, comunque si può osservare che $f $ è una funzione pari, quindi ha lo stesso comportamento in due punti "opposti" (anche se in generale il residuo cambia segno).
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$