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Salve a tutti, è corretto che i residui di questa funzione $f(z)= pi (cos(zpi)+1)/(z^2-1) in corrispondenza dei punti singolari facciano zero?
Dai miei calcoli risultano poli del primo ordine. Ma non sono sicura che il risultato sia corretto.
Inoltre, esiste un metodo per verificare la validità del risultato (una sorta di contro prova)?

Hai scritto due cose che si contraddicono: se una singolarità è un polo semplice, il coefficiente di $z^(-1) $ nella serie di Laurent, e quindi anche il residuo, è diverso da $0$.

Ci sono più modi in cui puoi procedere:

1) calcolare il limite di $f $ nei punti che ti interessano: nel tuo caso $lim_(z -> 1) pi (cos (pi z)+1)/((z-1)(z+1))=lim_(w ->0) pi (1-cos (pi w))/(w (w+2))=lim_(w->0) (1-cos(pi w))/(pi w)^2 (pi^3 w)/(w+2)=1/2*0=0$, quindi per Riemann hai una singolarità eliminabile, che tra l'altro risulta essere uno zero;

2) trovare la serie di Laurent: come prima conviene porre $z=w+1$ e sviluppare in un intorno di $0$:

$pi*1/w*1/(w+2)*(1-cos (pi w))=pi*1/w*1/2 (1-w/2+w^2/4-...)*((pi^2 w^2)/2-(pi^4 w^4)/24+...)$

e si vede facilmente che la prima potenza di $w $ con coefficiente non nullo è $w^1$;

3) provare a calcolare qualche integrale, anche se in questo caso mi sembra proibitivo...

Ovviamente si fa tutto in modo analogo per $z=-1$, comunque si può osservare che $f $ è una funzione pari, quindi ha lo stesso comportamento in due punti "opposti" (anche se in generale il residuo cambia segno).

Grazie mille per la risposta. Quindi quando mi si chiede un residuo del genere, devo sempre calcolare la serie di Laurent?
E soprattutto, da dove si deduce che conviene porre $z = w+1? $

A volte te la cavi anche col limite: se esiste ed è finito il residuo è chiaramente $0$, se è $oo $ hai un polo, il cui ordine è l'unico intero positivo $k $ tale che $lim_(z -> z_0) (z-z_0)^k f (z) in CC setminus \{0\} $, e allora il residuo risulta essere $1/((k-1)!) lim_(z->z_0) d/(dz^(k-1)) [(z-z_0)^k f (z)]$; se invece la singolarità è essenziale direi che la serie di Laurent è l'unica via d'uscita (o magari un integrale).

ennedes ha scritto:da dove si deduce che conviene porre $ z = w+1? $

Perché in generale trovo più comodo lavorare con una serie di potenze centrata in $0$, piuttosto che in un punto a caso.

ennedes ha scritto:da dove si deduce che conviene porre $z = w+1? $

Dall'esame di Analisi I.