Trasformata di Fourier con proprietà di dualità

[curiosone]

Ciao ragazzi, vorrei aprire questo post perché non ho ancora capito bene la proprietà di dualità della trasformata di Fourier, c'è qualcosa che ancora non ho ben capito. Premetto che devo mettere in evidenza la frequenza f.

(1)Proprietà di dualità
$ X(t) -> x(-f) $
$ X(-t) -> x(f) $
Ho invertito i segni meno ("-"), partendo dalla prima formula. Sono giuste le formule?

(2)Posso affermare questo?
$ x(t) -> X(-f) $
$ x(-t) -> X(f) $
Ho invertito le lettere "x" maiuscole in minuscole e viceversa. Queste formule sono corrette?

(3)Se il punto precedente è complessivamente corretta, mi ritrovo ad un contro senso:
Vale $ x(t) -> X(-f) $ e contemporaneamente vale $ x(-t) -> X(-f) $
Cosa potreste dirmi riguardo ciò?

E ora vengo all'esercizio cardine: abbiamo $ 1/(1+t^2) $ e devo trovare la sua trasformata di Fourier (la X(f), mettendo proprio in risalto la f).
Io mi ricordo di questa trasformata notevole $ e^(- alpha t)*epsilon (t) -> 1/( alpha + j2pif) $ con $ alpha>0 $ e $ epsilon (t) = 0 text( per t<0 ) $ e $ epsilon (t) = 1 text( per t>0 ) $
Se sommo $ 1/( alpha + j2pif) $ con la sua riflessa (cioè $ 1/( alpha + j2pi(-f)) $), cioè svolgo questa operazione:
$ 1/( alpha + j2pif) + 1/( alpha + j2pi(-f)) = $
$ 1/( alpha + j2pif) - 1/( alpha + j2pif) = $
$ (2 alpha)/( alpha^2 + 4pi^2f^2) $
E "intuisco" che è molto simile a $ 1/(1+t^2) $. Ma adesso che posso fare?

[dissonance]

Non ti riesco a seguire bene, ma sicuramente ti stai scordando i coniugati.