Calcolo integrali complessi

[LorenzoBottiglia]

Ciao a tutti,

RIporto il testo dell'esercizio:
Si considerino gli integrali

$ I_R=int_vec(gamma_R) dz/(z^2 +z+1), J= int_(-infty)^(+infty) dx/(x^2+x+1) $

dove $ vec(gamma_R) $ è la frontiera orientata positivamente di $ {zin C:|z|<=R, Imz>=0} $.

(a) provare che $ |1/(x^2+x+1)| <= 1/(R^2-R+1) $ se $ |z|=R $;
(b) scrivere $ I_R $ con una parametrizzazione di $ vec(gamma_R) $ e usarlo per calcolare $ J $ considerando il limite per $ R->+infty $.

L'unica cosa che mi viene in mente è pensare che $ J $ sia la parte reale di $ I_R $ e quindi calcolare con i residui $ I_R $ e sottrarlo a $ i int_(-infty)^(+infty)Im f(z)=0 $. Però credo sia sbagliato, anche perchè la consegna chiede altro metodo risolutivo.

Grazie mille in anticipo.

[anonymous_0b37e9]

Non si comprende se, nella seguente relazione:

$|1/(x^2+x+1)| lt= 1/(R^2-R+1) ^^ |z|=R$

$x$ sia la parte reale di un generico numero complesso $[z=x+iy]$ e se, proprio per questo motivo, essa debba essere soddisfatta per ogni $z$. Se questo fosse il caso, basterebbe sostituire $[z=-1+i]$ per rendersi conto che, a rigore, essa debba essere considerata falsa. Se, viceversa, la relazione di cui sopra deve essere soddisfatta solo per $[z=x]$ numero reale, allora è senz'altro vera.

[LorenzoBottiglia]

Sinceramente dal testo non l'ho capito nemmeno io, secondo te come devo interpretarla? E il punto (b) sai risolverlo?

Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il secondo punto, dopo aver applicato il teorema dei residui:

$\int_{-R}^{R}1/(x^2+x+1)dx+\int_{C_(R)}1/(z^2+z+1)dz=2\piiRes[1/(z^2+z+1),-1/2+isqrt3/2]$

è sufficiente passare al limite:

$lim_(R->+oo)\int_{-R}^{R}1/(x^2+x+1)dx+\int_{C_(R)}1/(z^2+z+1)dz=2\piiRes[1/(z^2+z+1),-1/2+isqrt3/2] rarr$

$rarr \int_{-oo}^{+oo}1/(x^2+x+1)dx=2\piiRes[1/(z^2+z+1),-1/2+isqrt3/2]$

dato che, per il teorema del grande cerchio:

$lim_(R->+oo)\int_{C_(R)}1/(z^2+z+1)dz=0$

Tuttavia, ho l'impressione che si volesse dimostrare che il limite di cui sopra è nullo senza utilizzare il teorema del grande cerchio. A tale proposito:

... scrivere $I_R$ con una parametrizzazione di $vec(gamma_R)$ ...

La classica parametrizzazione è:

$[z=x] ^^ [-R lt= x lt= R] rarr [dz=dx] ^^ [I_1=\int_{-R}^{R}1/(x^2+x+1)dx]$

$[z=Re^(i\theta)] ^^ [0 lt= \theta lt= \pi] rarr [dz=iRe^(i\theta)d\theta] ^^ [I_2=\int_{0}^{\pi}(iRe^(i\theta))/(R^2e^(2i\theta)+Re^(i\theta)+1)d\theta]$

$[I_R=I_1+I_2]$

Inoltre, poiché il secondo integrale compare dentro un limite e raramente è calcolato esplicitamente, si procede mediante una qualche maggiorazione del modulo della funzione integranda, proprio l'oggetto del primo punto per intenderci. Se hai bisogno di maggiori delucidazioni fammi sapere.