In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?
Inviato: 25/09/2017, 12:02
Sia $u:\mathbb{R}\rightarrow(-\infty,+\infty]$ una funzione convessa e supponiamo che $u$ ammetta un punto di minimo.
Definisco la regolarizzata di $u$ nel modo seguente:
$$(\varphi_\epsilon*u)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(y)u(x-y)dy, $$
dove $\varphi_{\epsilon}$ è un mollificatore standard.
Introduciamo la notazione:
$$\tilde{u}_i=\varphi_{1/i}*u,\quad\forall i\in\mathbb{N}. $$
So che $\tilde{u}_i$ è convessa, che la successione delle regolarizzate converge puntualmente a $u$ in $\mathbb{R}$ e uniformemente sui compatti di $\mathbb{R}$.
Se denoto con $y_i:=\min_{\mathbb{R}}u_i$, è vero che la successione degli $y_i$ converge a $y=\min u$?
Io penso di sì, perché vale il seguente fatto: $\tilde{u}'_i$ converge puntualmente quasi ovunque a $u'$ visto che $$ u'*\varphi_{1/i}=u*\varphi'_{1/i}=(u*\varphi_{1/i})'.$$
Il mio ragionamento è corretto? O dovrei usare la convergenza uniforme sui compatti per provarlo?
Grazie per l'aiuto!
Definisco la regolarizzata di $u$ nel modo seguente:
$$(\varphi_\epsilon*u)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(y)u(x-y)dy, $$
dove $\varphi_{\epsilon}$ è un mollificatore standard.
Introduciamo la notazione:
$$\tilde{u}_i=\varphi_{1/i}*u,\quad\forall i\in\mathbb{N}. $$
So che $\tilde{u}_i$ è convessa, che la successione delle regolarizzate converge puntualmente a $u$ in $\mathbb{R}$ e uniformemente sui compatti di $\mathbb{R}$.
Se denoto con $y_i:=\min_{\mathbb{R}}u_i$, è vero che la successione degli $y_i$ converge a $y=\min u$?
Io penso di sì, perché vale il seguente fatto: $\tilde{u}'_i$ converge puntualmente quasi ovunque a $u'$ visto che $$ u'*\varphi_{1/i}=u*\varphi'_{1/i}=(u*\varphi_{1/i})'.$$
Il mio ragionamento è corretto? O dovrei usare la convergenza uniforme sui compatti per provarlo?
Grazie per l'aiuto!