Dubbio su funzionali convessi

[Il buon Jonny]

Salve a tutti,
sto studiando sul "Theory of linear operator in Hilbert Space" di Akhiezer e Glazman per il mio lavoro di ricerca. Ho un problema con il teorema:
se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente, allora il funzionale è limitato.
Infatti nella dimostrazione si dice (o mi pare di capire) che se per assurdo il funzionale p(h) non è limitato nella sfera unitaria, allora non è limitato in tutto lo spazio. Però uno non può estendere l'intorno e far in modo che il funzionale diventi limitato?
Inoltre non capisco perché questo teorema si può formulare anche:"se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente allora è continuo.
Grazie mille in anticipo e buona giornata

[dissonance]

Ma no, sicuramente hai letto male o interpretato male. La funzione \(f(x)=x^2,\ x\in\mathbb R\) è continua, convessa e non è limitata.

P.S.: Il problema è sicuramente nell'interpretazione del termine "limitato". Dovresti spiegare cosa intendi.

[Il buon Jonny]

Innanzi tutto, grazie della risposta celere! Ti riporto il testo preciso:
LEMMA: If a convex functional $p(h)$ is lower semicontinuous, then the convex functional is bounded, i.e., there exists $M>0$ such that $p(h)<=M ||h||$ for each $h \in H$.

Proof: First, we prove that if the functional is not bounded in the unit sphere ($||h||<1$), then it will not bounded in the sphere $S(\rho, g)$ with center $g\in H$ and radius $\rho>0$, where $g$ and $\rho$ are arbitrary.

Sinceramente non comprendo il senso. Grazie in anticipo!

[dissonance]

Anche qua, bisogna vedere che intende con "convex", perché a volte questi libri di analisi funzionale usano una vecchia terminologia. Sicuramente intende che \(p(x+y)\le p(x)+p(y)\) e che \(p(\lambda x)=|\lambda|p(x)\). Per favore controlla la definizione

[Il buon Jonny]

Sì, confermo. Inoltre il funzionale convesso, che per definizione è reale, $p(h)$ è semicontinuo inferiormente se per ogni $h_0 \in H$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $p(h)-p(h_0)<-\epsilon$ per $||h-h_0||<\delta$.

[dissonance]

Conosci la dimostrazione del fatto che un funzionale lineare è continuo se e solo se è limitato (nel senso che \(|f(x)|\le C\|x\|\) per ogni \(x\))? Qui ne sta facendo la generalizzazione ai funzionali "convessi", come dice lui (occhio che in genere la gente pensa ad un'altra cosa quando dici "funzione convessa").

[Il buon Jonny]

In realtà ho dimostrato che se un funzionale è omogeneo, additivo e continuo allora è anche limitato. Non sapevo valesse la doppia implicazione. Sto usando questo libro perché è il più vicino al linguaggio di Meccanica Quantistica che ho studiato a Chimica.

[dissonance]

L'altra implicazione è più facile, se un funzionale convesso (nel senso del libro) è limitato (nel senso del mio post precedente), allora per ogni \(x, y\in H\) (\(H\)=spazio di Hilbert) si ha
\[
|p(x)-p(y)|\le p(x-y)\le C\|x-y\| ,\]
quindi \(p\) è una funzione Lipschitziana e in particolare è una funzione continua. Se il funzionale è lineare, a maggior ragione è convesso, quindi stessa conclusione.

Comunque, non è che queste cose siano proprio fondamentali. Quanto al libro, è famoso, continua pure la lettura senza però intestardirti troppo su questi dettagli (IMHO).

[Il buon Jonny]

Sei stato davvero gentile! Grazie e Ad maiora!