funzione a decrescenza rapida

[CarmineF]

Ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto.

Ho la funzione $f: RR \to CC$ tale che $x \to cos(\frac{2x\pi}{q})\int_(x-1/2)^(x+1/2) p(y,\sigma) \text{d}y$, dove $q$ è un intero positivo fissato, e $p(y,\sigma)$ è la funzione densità di probabilità gaussiana, di media 0 e deviazione $\sigma$.
Mi serve dimostrare che tale funzione è una funzione di Schwartz, ovvero una funzione a decrescenza rapida.
Non sono riuscito a dimostrarlo per la funzione presa così come è, e quindi ho pensato di dimostrarlo separatamente per le funzioni $x \to cos(\frac{2x\pi}{q})$ e $x \to \int_(x-1/2)^(x+1/2) p(y,\sigma) \text{d}y$ per poi sfruttare la stabilità, rispetto al prodotto, dello spazio di Schwartz. Il problema è che neanche in questo modo sono riuscito a tirarne niente di buono fuori.
Come si può dimostrare che questa funzione è a decrescenza rapida???

[dissonance]

Per forza non ci riesci: il coseno non è affatto a decadimento rapido, infatti non decade neanche. Il decadimento viene interamente dall'altro pezzo.

[CarmineF]

Io in effetti mi trovo che il coseno non è a decrescenza rapida ma, poiché so per certo che la funzione $f$ lo sia, pensavo di sbagliare.
Quindi $f$ è una funzione di Schwartz in quanto prodotto di una funzione limitata per una a decrescenza rapida?
E scusami, potresti dirmi come dimostrare formalmente che $x \to \int_(x-1/2)^(x+1/2) p(y, \sigma) dy$ è di Schwartz?

[dissonance]

Il coseno è una funzione limitata *e ha tutte le derivate limitate* (importante - senza questa clausola incappi in controesempi come \(\cos( e^x)\)), quindi se l'altra funzione è Schwartz siamo a posto. Per vedere questo c'è da fare un po' di analisi, ma io credo che valga in generale.

**Congettura** Se \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è Schwartz allora
\[
F(x)= \int_x^{x+1} f(y)\, dy
\]
è Schwartz.

*Dimostrazione* (abbozzo da completare). Si tratta di dimostrare che per ogni \(j\in\mathbb N\) esiste una costante \(C_j>0\) (non è necessario calcolarla esplicitamente) tale che
\[
\left\lvert \frac{d^j}{dx^j} F(x) \right\rvert\le C_j \sup_{y\in [x, x+1]} \left\lvert \frac{d^{j-1}f}{dx^{j-1}}(y)\right\rvert.\]
Da qui discende rapidamente che \(F\) è Schwartz perché \(f\) lo è.

Vedi un po' se riesci a cavare qualcosa da questo abbozzo e se ti convince.

[dissonance]

Mi è venuta in mente una via forse più semplice per dimostrare la congettura: scrivere
\[
F(x) = \int_0^{x+1} f\, dy - \int_0^x f\, dy. \]
E quindi è sufficiente dimostrare che \[
x\mapsto \int_0^x f(y)\, dy \]
è Schwarz, e questa è una cosa più facile.

[gugo82]

Ma non penso... Infatti la funzione integrale, ad esempio, della gaussiana non è nemmeno infinitesima in $oo$.

[dissonance]

Ma non penso... Infatti la funzione integrale, ad esempio, della gaussiana non è nemmeno infinitesima in $oo$.

Hai ragione Gugo, quindi la "via più facile" in realtà non funziona.

[CarmineF]

Infatti io ho provato a dimostrare la congettura tramite la definizione di funzione di Schwartz e, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale, riuscivo a far vedere che le derivate di $F$ decadevano più velocemente di un polinomio,ma non riuscivo a farlo vedere per la $F$.

[dissonance]

Per la \(F\) hai la stessa cosa:
\[
\lvert F(x)\rvert \le \sup_{y\in[x, x+1]} |f(y)|.\]

[CarmineF]

Allora vediamo, io ho dimostrato la congettura così come riporto di seguito. Vorrei un parere e capire se le cose funzionano davvero.

Tesi: Se $f: RR \to CC$ è di Schwartz allora anche $\int_(x-1/2)^(x+1/2)f(y)dy$ è di Schwartz.

Dimostrazione: A meno di un cambio di variabili posso considerare l'integrale $\int_(x-1)^(x)f(y)dy$ e, essendo $RR$ dato dall'unione di intervalli chiusi a 2 a 2 privi di punti interni in comune, posso considerare la restrizione di $f$, $\bar f: [x-1, x] \to CC$.
Poiché per ipotesi $f$ è di Schwartz allora anche $\bar f$ è di Schwartz, cioè $\bar f in C^(oo)$ e $AA n, m in NN_0 EE A_(n,m)>0 : \text {sup} |x^m f^((n))|<= A_(n,m)$.
$\bar f$ di Schwartz $rArr \bar f$ continua, integrabile e limitata $rArr$ (per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale) $\bar f$ ammette primitiva $F(x) = \int_(x-1)^(x)\bar f(y)dy$ che è anch'essa continua e differenziabile.
Dimostriamo allora che $F$ è di Schwartz, cioè che $AA n, m in NN_0 EE A_(n,m)>0 : \text {sup} |x^m F^((n))|<= A_(n,m)$.
Se $n = 0 rArr AA m in NN_0 \text { sup} |x^m F|<= \text {sup}_{y in [x-1, x]}|x^m f| <= A_(0,m)$.
Se $n > 0 rArr AA m in NN_0 \text { sup} |x^m F^((n))|= \text {sup}|x^m f^(n-1)| <= A_(n-1,m)$, dunque $F$ è di Schwartz.

Che ne pensate? I passaggi sono tutti leciti oppure ho sbagliato qualcosa?