Distribuzioni

[Allee]

Salve vi scrivo per un aiuto riguardante il seguente esercizio:
Qual è la trasformata di Fourier della distribuzione temperata
$ x in mathbb(R) rarr sin ^3x $ ?

Premetto che mi sono appena approcciato all'argomento, vorrei approfittare di questo esercizio anche per chiarire in modo pratico l'applicazione della trasformata di Fourier alle distribuzioni. Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte.

[dissonance]

Suggerimento: devi usare la formula (occhio al fattore \(2\pi\), dipende dalla convenzione che scegli per la trasformata di Fourier)
\[
\mathcal{F}[\exp( i\alpha \cdot) ] = 2\pi \delta (\cdot - \alpha).\] 
Scomponi \(sin^3\) fino a poterla utilizzare.

[Allee]

Innanzitutto grazie della risposta.
Quindi in pratica scrivendo
$ sin ^3x=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^3 $
e svolgendo il cubo, si ottiene
$ 1/8i(e^(i3x)-3e^(ix)+3e^(-ix)-e^(i3x)) $
A questo punto applico la proprietà che mi hai suggerito (La scrivo come: $ \mathcal(F)[e^(ilambda )] =2pidelta _lambda $ )
ovvero trasformando i singoli termini ottengo
$ i pi/4(delta _3-3delta _1+3delta _-1-delta _-3) $

Se posso approfittare ancora della tua pazienza vorrei chiederti dei chiarimenti riguardanti la proprietà che hai citato, o quelle ad essa affini, in particolare ho delle perplessità relative alla trasformata di Fourier della delta centrata in un punto qualsiasi. Ovvero la proprietà dice:
$ hat(delta _lambda ) =e^(ilambda x) $
Ma in che modo è possibile dimostrare questa proprietà?
Scusa la probabile banalità della domanda ma non ho trovato delle informazioni capaci di risolvere tutti i miei dubbi

[Luca.Lussardi]

È immediato come conseguenza della definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata: il modo più ovvio, cioè scaricare la trasformata sul test.

[Allee]

Eh, il mio problema è proprio quello di non aver capito a pieno la definizione di Trasformata di Fourier per le distribuzioni. Dunque speravo di poterla apprenderla meglio sfruttando come esempio la dimostrazione della proprietà citata

[Luca.Lussardi]

Il modo piu' ovvio e' porre $\langle \mathcal F(T),\varphi\rangle:=\langleT,\mathcal F(\varphi)\rangle$ perche' questa formula vale se $T$ e' una funzione localmente sommabile. Il problema e' che in generale $\mathcal F(\varphi)$ non e' piu' una funzione test, per cui bisogna passare alle distribuzioni temperate: per queste ultima la formula citata e' la definizione di trasformata di Fourier di $T$. Basta che metti adesso $T=\delta_{x_0}$.

[dissonance]

Questo che dice Luca è l'approccio dei matematici, di Schwartz. Se vuoi fare l'ingegnere puoi anche fare un discorso di limite. Prendi una successione che approssima $\delta$, calcola la trasformata di Fourier, passa al limite. Per esempio,
\[
f_n(x)=\begin{cases}
n, & |x|\le \frac{1}{2n} \\ 0, & |x|\ge \frac{1}{2n}\end{cases}\]
(che gli ingegneri credo scrivano in termini della funzione "Rect", o del gradino di Heaviside). La trasformata \(\hat{f}_n\) si può calcolare facilmente e poi si può passare al limite. Sul libro di Bracewell:

https://books.google.es/books/about/The ... edir_esc=y

trovi tutti questi calcoli.