Calcolo residuo all'infinito

[Allee]

Salve, vi scrivo sperando possiate aiutarmi nel seguente esercizio:

Determinare il residuo all'infinito di
$ e^(1/z) (z^3-z^2-z-1)/(z^2(z+1)) $

Dunque per il calcolo del residuo all'infinito effettuo la sostituzione $ z=1/w $
$ e^w (1/w^3-1/w^2-1/w-1)/(1/w^2(1/w+1)) $
A questo punto moltiplico la funzione ottenuta per $ 1/w^2 $ , ottenendo
$ e^w w (1-w-w^2-w^3)/(1+w^2) 1/w^2 $
A questo punto devo passare al limite per $ wrarr 0 $ oppure devo valutare la funzione in zero?

[dissonance]

Prova a valutare la funzione in \(w=0\). Cosa trovi?

[pilloeffe]

Ciao Allee,

Capisco che intendi usare la relazione

$Res[f(z), \infty] = - Res[frac{f(1/w)}{w^2}, 0] $

ove $z = 1/w $, ma c'è qualcosa che non mi torna perché salvo errori mi risulta

$e^w (1/w^3-1/w^2-1/w-1)/(1/w^2(1/w+1)) = e^w frac{1 - w - w^2 - w^3}{1 + w} $

per cui si ha:

$frac{f(1/w)}{w^2} = e^w \cdot (1/w^2 - 1/w - 1 - w) \cdot frac{1}{1 + w} $

Ricordando che

$ e^w = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{w^n}{n!} $

$ frac{1}{1 + w} = frac{1}{1 - (-w)} = sum_{n = 0}^{+\infty} (-w)^n $

dopo un po' di conti si trova

$ frac{f(1/w)}{w^2} = 1/w^2 - 1/w - 1/2 - frac{11w}{6} + frac{5w^2}{24} + o(w^3) $

Quindi in definitiva si ha:

$ Res[frac{f(1/w)}{w^2}, 0] = - 1 \implies Res[f(z), \infty] = - Res[frac{f(1/w)}{w^2}, 0] = 1 $

[Allee]

Innanzitutto vi ringrazio per le risposte,
purtroppo ho commesso un errore nel digitare la traccia che era invece
$ f(z)=e^(1/z) (z^3-z^2-z-1)/(z^2(z^2+1)) $

Poichè il mio intento è proprio utilizzare la relazione citata da pilloeffe, sostituendo ottengo il risultato che ho riportato nel messaggio precedente (salvo eventuali errori di calcolo) ovvero
$ e^w (1-w-w^2-w^3)/(w(1+w^2) ) $

A questo punto sostituendo $ w=0 $ mi darebbe come risultato $ oo $ è un risultato possibile? e in questo caso a che conclusione si giunge?

Inoltre vorrei chiederti in che modo si può applicare lo sviluppo di Taylor, come mi pare di aver capito tu abbia fatto, a questa tipologia di esercizi.

[dissonance]

"Mi darebbe come risultato infinito" come si dice in vero linguaggio matematico? Si dice "la funzione ha un POLO nell'origine." E adesso tocca calcolare il residuo di questo polo. Ma prima meglio riaprire il libro e rivedere le serie di Laurent, perché a quanto vedo hai le idee confuse sulla teoria.

[pilloeffe]

Beh, con la correzione che hai scritto è diverso e si ha:

$e^w (1/w^3-1/w^2-1/w-1)/(1/w^2(1/w^2 +1)) = e^w w frac{1 - w - w^2 - w^3}{1 + w^2} $

per cui in effetti si ha:

$ frac{f(1/w)}{w^2} = e^w \cdot (1/w - 1 - w - w^2) \cdot frac{1}{1 + w^2} $

Puoi comunque usare gli sviluppi già citati nel mio precedente post, cambia solo

$frac{1}{1 + w^2} = frac{1}{1 - (- w^2)} = sum_{n = 0}^{+\infty} (-w^2)^n = sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n w^{2n} $

dopo un po' di conti si trova

$ frac{f(1/w)}{w^2} = 1/w - frac{5w}{2} - frac{7w^2}{3} + frac{7w^3}{8}+ o(w^4) $

Quindi in definitiva si ha:

$ Res[frac{f(1/w)}{w^2}, 0] = 1 \implies Res[f(z), \infty] = - Res[frac{f(1/w)}{w^2}, 0] = - 1$