Problema di Cauchy.

[lo92muse]

Ti correggo qualche punto.

Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$

ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.

Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.

Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.

Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.

Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0<y<4$ dappertutto.

Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$

Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.

Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...

Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.

Tutto chiarissimo grazie alle annotazioni.

Esattamente, qualche dubbio in più su come sia meglio procedere mi viene quando devo studiare la soluzione quando $y_0$ è al di fuori di $[0,4]$, in particolare quando $y_0$ è negativo o maggiore di $4$. Soprattutto se devo disegnarne poi il grafico (mi ritrovo con due variabili in teoria, $x$ ed $y_0$ che devo fare variare).

Ho dimotrato che è crescente nell'intervallo $[0,4]$ grazie alla valutazione dei punti critici, così come ho capito che decresce al di fuori, sia che sia negativa che maggiore di $4$.

Fatto questo passerei alla soluzione $y(x)$ tramite l'integrazione e la separazione delle variabili, ed è qui, nel doverne disegnare il grafico il problema. Ho diverse inormazioni, ma vorrei capire una procedura il più formale possibile per arrivare ad una valutazione grafica.

Sto ragionando bene? Grazie mille come sempre.

[Luca.Lussardi]

Si, ma quello che cercavo di farti fare e' arrivare a tutte le conclusioni a cui arrivi facendo un normale studio di funzione senza avere la forma esplicita della soluzione, dimentica che puoi integrare l'equazione esattamente, fai finta che non sia possibile, riesci a ricostruire il grafico della soluzione? questo e' lo studio qualitativo di un problema di Cauchy.

[lo92muse]

Si, ma quello che cercavo di farti fare e' arrivare a tutte le conclusioni a cui arrivi facendo un normale studio di funzione senza avere la forma esplicita della soluzione, dimentica che puoi integrare l'equazione esattamente, fai finta che non sia possibile, riesci a ricostruire il grafico della soluzione? questo e' lo studio qualitativo di un problema di Cauchy.

Ho capito il punto. Dunque, per ora ho ricavato solo informazioni sulla monotonicità. Per i flessi, mi viene in mente di fare:

$y'=y(4-y)$

$y''=1(4-y)+y(-1)=4-y-y=4-2y$

Studio il segno di $y''$, trovo un punto di flesso in $y=2$, e ho già capito come sono rivolte le concavità.

Prima hai accennato a dei limiti all'infinito (di $y'$). Che informazioni mi aggiugono? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Occhio a fare la derivata seconda: da $y'=4y-y^2$ hai $y''=4y'-2yy'=...$

[Camillo]

Si è trovata analiticamente la soluzione del PdC che è : $y(x)=( 4y_0*e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$

Considero ora i casi $y_0 >4 ; y_0<0 $

*Caso $ y_0>4 $; il denominatore della soluzione si annulla per $x= 1/4 ln( 1-4/y_0)$ che risulta sempre $< 0 $.
La funzione ha quindi un asintoto verticale di equazione $x= 1/4 ln( 1-4/y_0)$.
Possiamo concludere che l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è $ (1/4 ln( 1-4/y_0) ,+oo)$

*Caso $y_0 <0 $ ; il denominatore si annulla sempre per $x = 1/4 ln( 1-4/y_0)$ che però in questo caso è $>0 $.
Quindi l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è : $ ( -oo, 1/4 ln( 1-4/y_0)) $

DOMANDA : Come si potrebbe determinare l'intervallo massimale senza aver trovato la soluzione analitica ma solo con lo studio qualitativo del PdC ??

[Luca.Lussardi]

Puoi dimostrare con la sola teoria se l'intervallo massimale e' limitato o no, eventualmente puoi avere una stima sugli estremi di esso, ovviamente e' arduo arrivare ad averlo esattamente senza che sia nota la soluzione esplicita, ma spesso e' sufficiente sapere solo se la soluzione esplode in tempo finito o no.