Problema di Cauchy.

[lo92muse]

Salve a tutti. Mi trovo a dover affrontare questo problema di Cauchy. Ecco il testo.

${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$

In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .

Ecco la mia idea.

Tratto questa equazione come "a variabili separabili".

$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.

Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$

Arrivando direttamente alla separazione delle variabili

$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $

Dove nel primo integrale ho scelto di chiamare la variabile della funzione integranda x per non creare ambiguità con gli estremi di integrazione.

PRIMO DUBBIO: Non sono del tutto certo della scelta degli estremi di integrazione. Secondo il mio ragionamento dovrebbero essere corretti, ma una seconda opinione da qualcuno più esperto sarebbe graditissima

Procedendo, calcolo gli integrali ottenendo

$log|y|-log|y_0|-log|4-y|+log|4-y_0| = 4x + alpha$

Imponendo la condizione iniziale $y(0)=y_0$ per ricavare $alpha$

$log(y_0)-log(y_0)-log(4-y_0)+log(4-y_0)=0+alpha$

Quindi $alpha=0$

Mettendo le cose insieme

$log(y)-log(y_0)-log(4-y)+log(4-y_0) = 4x$

Per le proprietà dei logaritmi

$log(y/(4-y))-log(y_0)+log(4-y_0)=4x$

$-log(y/(4-y))+log(y_0)-log(4-y_0)=-4x$

$-log(y/(4-y))+log(y_0/(4-y_0))=-4x$

$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$

Ora, ammettendo che il tutto sia corretto, ho dei grossi problemi a trovare la soluzione finale $y(x)$.

La mia idea è quella di risolvere questa equazione in y, ma vengono conti abbastanza lunghi che non portano al risultato sperato.

Parto da qua per intenderci

$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+4x$

$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(4x)$

Cosa ne pensate?

Grazie a tutti quelli che vorranno aiutarmi ragazzi!!

[Luca.Lussardi]

penso che hai scordato le proprieta' delle potenze nell'ultimo passaggio....

[lo92muse]

penso che hai scordato le proprieta' delle potenze nell'ultimo passaggio....

Grazie per la risposta.. Ti riferisci a questo passaggio?
$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$

Corretto in

$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+2e^(x)$


Ne approfitterei inoltre per chiedere conferma degli estremi di integrazione da me usati, facendo variare tra $y$ ed $y_0$ il primo integrale e tra $0$ e $2$ il secondo. Grazie mille per la disponibilità!

[Luca.Lussardi]

Non ci siamo.. comunque gli estremi non van bene a destra... devi integrare tra 0 e x in dt.

[lo92muse]

Non ci siamo.. comunque gli estremi non van bene a destra... devi integrare tra 0 e x in dt.

Si, la correzione è sicuramente un errore bello grosso, stavo cercando di capire dove avevo sbagliato e ho fatto di peggio .
Mi puoi dare lumi su dove asserisci che ho dimenticato le proprietà delle potenze (cosa che potrebbe anche essere vera, visto che devo fare un esame di analisi avanzata della specialistica qualche anno dopo analisi 2, e nonostante avessi fatto gli esami di matematica con molta passione ora sono un po' arrugginito.... )

Comunque da soluzione la funzione dopo l'integrazione dovrebbe diventare: $log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=4x$ cosa che smette di essere vera cambiando gli estremi di integrazione da te suggeriti e che reputo essere decisamente più sensati della mia scelta. Ho preso un esercizio sfortunato con soluzione sbagliata che mi sta portando in una direzione pericolosa?

[Luca.Lussardi]

Gli estremi corretti sono $0$ e $x$ perche' devi integrare tra $0$ e $x$ entrambi i membri. Le proprieta' delle potenze sembrano esserti antipatiche: $\log x-\log y=\log (x/y)$. Infine, tieni conto che devi necessariamente trovare una soluzione definita su tutto $\mathbb R$ dal momento che resta incastrata tra $y=0$ e $y=4$.

[lo92muse]

Gli estremi corretti sono $0$ e $x$ perche' devi integrare tra $0$ e $x$ entrambi i membri. Le proprieta' delle potenze sembrano esserti antipatiche: $\log x-\log y=\log (x/y)$. Infine, tieni conto che devi necessariamente trovare una soluzione definita su tutto $\mathbb R$ dal momento che resta incastrata tra $y=0$ e $y=4$.

Quindi anche il primo integrale sarebbe scorretto, in quanto io ho integrato tra $y_0$ ed $y$. Quella proprietà è proprio quella che io credo di avere usato, in questo modo:

$log(y)-log(4-y)=log(y/(4-y))$

Poi, moltiplicando tutto per $-1$ posso scrivere analogamente

$log(y_0)-log(4-y_0)=log(y_0/(4-y_0))$

E' lecito scriverlo? Sempre grazie mille per la disponibilità.

[Luca.Lussardi]

Il primo integrale va bene, hai gia' di fatto la sostituzione $y(x)\to x$.

[lo92muse]

Il primo integrale va bene, hai gia' di fatto la sostituzione $y(x)\to x$.

Chiaro. E' corretto invece il modo in cui ho trattato i logaritmi? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Non capisco gli ultimi passaggi: da $\log(x/y)=a$ trovi $x/y=e^a$...