Problema di Cauchy.

[Pazzuzu]

Sono d'accordo con Lussardi, ripassa le proprietà delle potenze! Oppure se già le conosci, stai più attento quando le usi. Io inoltre mi preoccuperei anche di controllare la validità delle operazioni che hai compiuto. Per esempio, esistono dei punti dove log(x/y) è priva di significato?

[Luca.Lussardi]

Per esempio, esistono dei punti dove log(x/y) è priva di significato?

Questo e' piu' delicato e richiede la teoria delle equazioni ordinarie, ma, come ho gia' detto, basta osservare che ogni soluzione massimale con dato $y_0\in (0,4)$ e' costretta a restare tra $y=0$ e $y=4$ senza mai toccare queste due rette, in particolare verra' anche definita su tutto $\mathbb R$. La prova del 9 sara' controllare che la soluzione ottenuta integrando esplicitamente e' proprio fatta cosi'...

[Pazzuzu]

Infatti non mi sono voluto sbilanciare, è giusto per ricordarci che gli estremi dell'intervallo potrebbero essere pericolosi!

[lo92muse]

Erano due punti di ortografia, non una divisione... era solo per ricordarti che proprieta' delle potenze hai ignorato fino ad adesso.

Grande!! Era proprio per quel motivo che non mi veniva. E' una proprietà che conosco molto bene, in quanto elementare.
Non riuscivo a visualizzarla in questo contesto.

In pratica se ho $log(x/y)+a = x/y*e^a$ applicando la funzione esponenziale.

Ho trovato così la soluzione, che coincide con quella assegnata:

$y/(4-y)=y_0/(4-y_0)e^(2x)$

Tramite passaggi algebrici che qui non trascrivo, ottengo

$y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$

Questa dovrebbe essere la funzione da studiare nell'intervallo $y in [0,4]$. Come vi sembra?

Un'ultima nota:

$int_(y_0)^(y) 1/(x(4-x)) dx = int_(0)^(4) 1 dx $

Il secondo integrale in questo caso l'ho considerato definito, in quanto so che la variabile $in [0,4]$, giusto?
Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

No, il secondo integrale deve essere $\int_0^x1dt$, non ti viene $y=y(x)$ dalla tua uguaglianza precedente...

[lo92muse]

Innanzitutto buona domenica

Quello che ho fatto io è stato esplicitare la variabile $y$ ottenendo una relazione che vede $y$ in funzione di $x$ e del parametro $y_0$, reale, in questo caso limitato all'intervallo assegnatomi, coincidente con la soluzione dell'esercizio.

Ora, al di la dell'esercizio fine a se stesso, vorrei chiederti se mi sta sfuggendo qualcosa, in quanto vorrei chiarirmi bene le idee, per poter poi affrontare esercizi mano a mano più complessi.

Grazie, come sempre.

[Luca.Lussardi]

Non ti viene $y$ in funzione di $x$ se non metti nell'integrale a destra la $x$ come estremo di integrazione... La procedura formale che c'e' dietro le equazioni a variabili separabili e' questa: $y'(x)=b(y(x))f(x)$ porta, dietro opportune considerazioni sugli zeri di $b$, a $\frac{y'(x)}{b(y(x))}=f(x)$. Quest'ultima, se la condizione iniziale e' $y(x_0)=y_0$, si integra tra $x_0$ e $x$, per cui hai $\int_{x_0}^x\frac{y'(t)}{b(y(t))}dt=\int_{x_0}^xf(t)dt$. Ora nel primo integrale sostituisci $y(t)=s$ e hai la forma $\int_{y_0}^y\frac{1}{b(s)}ds=\int_{x_0}^xf(t)dt$ che e' la formula risolutiva pronta per l'applicazione. Osserva che l'integrale a destra ha $x$ come estremo di integrazione.

[lo92muse]

Non ti viene $y$ in funzione di $x$ se non metti nell'integrale a destra la $x$ come estremo di integrazione... La procedura formale che c'e' dietro le equazioni a variabili separabili e' questa: $y'(x)=b(y(x))f(x)$ porta, dietro opportune considerazioni sugli zeri di $b$, a $\frac{y'(x)}{b(y(x))}=f(x)$. Quest'ultima, se la condizione iniziale e' $y(x_0)=y_0$, si integra tra $x_0$ e $x$, per cui hai $\int_{x_0}^x\frac{y'(t)}{b(y(t))}dt=\int_{x_0}^xf(t)dt$. Ora nel primo integrale sostituisci $y(t)=s$ e hai la forma $\int_{y_0}^y\frac{1}{b(s)}ds=\int_{x_0}^xf(t)dt$ che e' la formula risolutiva pronta per l'applicazione. Osserva che l'integrale a destra ha $x$ come estremo di integrazione.

Ok, quindi riscrivendo in modo corretto dovrei avere:

$ int_(y_0)^(y) 1/(s(4-s)) ds = log(y)-log(4-y)-log(y_0)+log(4-y_0)$

$int_(0)^(x) 1 dx = x$

Mettendo poi insieme le cose

$log(y/(4-y))-log(y_0/(4-y_0))=x$

Che, rifacendo i passaggi algebrici di prima, porta a

$y=(4y_0e^x)/(4-y_0+y_0e^x)$

Che dovrebbe rispondere alla domanda del problema. La cosa che non mi torna è che la soluzione $y(x)$ ha esattamente questa forma, soltanto che l'esponenziale è $e^(4x)$ invece di $e^x$.

Mi sta sfuggendo l'ennesimo dettaglio (se così si può definire)? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Ti sei perso un $4$ quando hai fatto la primitiva di $\frac{1}{s(4-s)}$...

[lo92muse]

Ti sei perso un $4$ quando hai fatto la primitiva di $\frac{1}{s(4-s)}$...

Perfetto, ora torna tutto. Mi sento quasi in imbarazzo per questi errori banali ma in questo momento, essendo passato un po' di tempo dai vari esami di matematica della triennale di ingegneria, le mie certezze non sono poi più così forti ma spero entro breve di tornare come ai tempi d'oro.

Quindi, ricapitolando $y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$ è la risposta al problema dato ed andrà valutata per $y in [0,4]$. Corretto? Grazie molte davvero per tutto.