Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Pazzuzu » 16/10/2017, 22:44

lo92muse ha scritto:Quindi, ricapitolando $ y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x)) $ è la risposta al problema dato ed andrà valutata per $ y in [0,4] $.

Questo lo puoi verificare tu stesso.
Comunque, personalmente, visto che ti si chiede uno studio al variare di $y_0 \in [0,4]$, imposterei la trattazione in maniera leggermente diversa.
Ricapitolando :
\( \begin{cases} y'=4y-y^2 \\ y(0)=y_0 \end{cases} \)
dove $y_0 \in [0,4]$.
Iniziamo a tirare fuori un pò di qualità : $ 4y-y^2 $ è una funzione continua su tutto \( \mathbb{R} \), sempre derivabile e con derivata prima continua. Quindi esiste un intorno del punto $(x=0,y_0)$ dove la soluzione esiste ed'è unica.
Iniziamo col caso $y_0=4$ , si vede subito che $y(x)= 4$ è una soluzione del problema in un intorno di $x=0$. Lo stesso vale per il caso $y_0=0$, dove $y(x) = 0 $ risolve il problema in un intorno di $x=0$.
Rimane da trattare il caso $y_0 \in (0,4)$.
Poichè $4y-y^2$ non è mai nulla, possiamo fare moltiplicazioni e divisioni in tutta tranquillità :
$(y')/(4y-y^2) = 1$
Piccolo cambio di variabile $t=x$ per comodità e integriamo :
\( \int_{x_0}^{x} (y(t)')/(4y(t)-y(t)^2)dt = \, \int_{x_0}^{x}1dt \)
Ora di nuovo un cambio di variabile $s= y(t)$. Differenziandolo $ds=y'dt$ e sostituendo:
*(per quanto riguarda gli estremi di integrazione basta ricordarsi che $x_0 = t_0 ->s_0=y(t_0)=y_0 ; s=y(t)=y(x)$) *
\( \int_{y_0}^{y(x)} ds/(4s-s^2) = \, \int_{x_0}^{x}1dt \) che diventa*($x_0=0$)*:
$[(1/4ln|s|-1/4ln|4-s|)]_{y_0}^{y(x)} = x $
Tenuto conto del fatto che $y_0$ e $4-y_0$ sono quantità sempre strettamente positive :
$ln|y(x)-ln|4-y(x)|-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Bisogna richiedere inoltre che oltre che nel punto $x=0$, la $y(x)$ sia sempre strettamente limitata dalle rette $y=0$ e $y=4$ (questo deriva dal fatto che la $y(x)$ è almeno una funzione continua e non potendosi annullare, né assumere il valore $4$, è costretta tra queste due rette a causa delle condizioni iniziali che la definiscono, in quest'ultimo caso, strettamente positiva in $x=0$):
$ln(y(x))-ln(4-y(x))-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Dopo opportune manipolazioni :
$y(x) = (4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$
che è l'unica soluzione del problema iniziale, per $y_0 \in (0,4)$ , almeno in un opportuno intorno del punto $(x,y)= (0,y_0)$.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Luca.Lussardi » 17/10/2017, 09:53

Io la imposterei diversamente ancora. Ok sull'applicazione del teorema di esistenza e unicita' che da' una ed una sola soluzione massimale per ogni dato iniziale. Osservare quindi che se $y_0=0$ uno ha l'unica soluzione $y=0$ e se $y_0=4$ uno ha l'unica soluzione $y=4$. Osservare quindi a questo punto che la soluzione massimale con $y_0\in(0,4)$ deve stare tra $y=0$ e $y=4$, quindi non puo' mai accadere che tale soluzioni annulli l'espressione $4y-y^2$. Adesso che siamo certi di cio' possiamo passare all'integrazione esplicita.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Pazzuzu » 17/10/2017, 10:01

Purtroppo non sono ancora così bravo nell'analisi qualitativa, e mi tocca fare ancora un sacco di conti. Sicuramente la tua impostazione è più elegante della mia, io ho dovuto tirare giù una montagna di calcoli e considerazioni. ](*,)
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Luca.Lussardi » 17/10/2017, 10:13

Complessivamente va bene anche la tua, si tratta solo di cosa logicamente, a mio modo di vedere, viene prima. E' importante, qui, osservare da subito che la soluzione massimale con dato $y_0\in (0,4)$ e' costretta a star confinata tra $y=0$ e $y=4$, non toccando mai queste due rette. Solo dopo che si e' certi di questo si puo' tranquillamente integrare mettendo al denominatore $4y-y^2$.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda lo92muse » 17/10/2017, 22:04

Pazzuzu ha scritto:Purtroppo non sono ancora così bravo nell'analisi qualitativa, e mi tocca fare ancora un sacco di conti. Sicuramente la tua impostazione è più elegante della mia, io ho dovuto tirare giù una montagna di calcoli e considerazioni. ](*,)


Luca.Lussardi ha scritto:Complessivamente va bene anche la tua, si tratta solo di cosa logicamente, a mio modo di vedere, viene prima. E' importante, qui, osservare da subito che la soluzione massimale con dato $ y_0\in (0,4) $ e' costretta a star confinata tra $ y=0 $ e $ y=4 $, non toccando mai queste due rette. Solo dopo che si e' certi di questo si puo' tranquillamente integrare mettendo al denominatore $ 4y-y^2 $.


Grazie mille ad entrambi per la spiegazione chiara e le idee che avete proposto!

Andando a dover valutare questo risultato per via grafica quale sarebbe la strada migliore? Lo studio di funzione? Grazie mille.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Luca.Lussardi » 18/10/2017, 08:12

Se hai la soluzione esplicita si, io ti consiglio di fare due cose, a titolo di esercizio:
1) studia la soluzione trovata facendo un normale studio di funzione;
2) cerca di rifare lo studio della soluzione senza sapere che forma ha, usando solo l'equazione differenziale e la teoria delle equazioni ordinarie: si chiama studio qualitativo ed e' di grande interesse dal momento che quasi mai uno riesce a trovare la forma esplicita della soluzione ma necessita di sapere che andamento ha.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda lo92muse » 18/10/2017, 12:41

Luca.Lussardi ha scritto:Se hai la soluzione esplicita si, io ti consiglio di fare due cose, a titolo di esercizio:
1) studia la soluzione trovata facendo un normale studio di funzione;
2) cerca di rifare lo studio della soluzione senza sapere che forma ha, usando solo l'equazione differenziale e la teoria delle equazioni ordinarie: si chiama studio qualitativo ed e' di grande interesse dal momento che quasi mai uno riesce a trovare la forma esplicita della soluzione ma necessita di sapere che andamento ha.


Grazie mille per la risposta. Quello che ho iniziato a fare è stato valutare il segno di $y'(x)=y(4-y)$

Ottenendo così informazioni sulla monotonicità della funzione $y(x)$.

In particolare ho valutato che essa sarà:

decrescente per valori di $y>4$,

crescente per valori di $y in [0,4]$

e decrescente per $y<0$.

E' un buon inizio come valutazione? Grazie mille.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Luca.Lussardi » 18/10/2017, 13:01

Si, e' il punto iniziale perche' se applichi la teoria gia' solo questa informazione ti dice qualcosa sull'andamento delle soluzioni. Potresti andare avanti cercando di riottenere tutto quello che hai ottenuto studiandola esplicitamente, e' un ottimo esercizio. Se hai da chiedere posta qua che lo facciamo assieme.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda lo92muse » 19/10/2017, 10:54

Luca.Lussardi ha scritto:Si, e' il punto iniziale perche' se applichi la teoria gia' solo questa informazione ti dice qualcosa sull'andamento delle soluzioni. Potresti andare avanti cercando di riottenere tutto quello che hai ottenuto studiandola esplicitamente, e' un ottimo esercizio. Se hai da chiedere posta qua che lo facciamo assieme.


Buongiorno :)

Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$

Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.


Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.

Inoltre direi che per non contraddire l'unicità della soluzione deve valere:

Per $y_0 in [0,4]$ si avrà $y in [0,4]$ nel sottoinsieme di $mathbb(R)$

E analogamente

Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$

Unisco il tutto allo studio del post precedente e ho già ricavato più informazioni solamente applicando la teoria. Cosa ne pensi? Grazie mille.
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Re: Problema di Cauchy.

Messaggioda Luca.Lussardi » 19/10/2017, 12:16

Ti correggo qualche punto.

lo92muse ha scritto:Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$

ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.

lo92muse ha scritto:Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.


Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.

lo92muse ha scritto:Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.


Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0<y<4$ dappertutto.

lo92muse ha scritto:Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$


Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.

Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...

Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.
Luca.Lussardi
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