Sono confuso dalla definizione dello spazio di Sobolev frazionario. Il libro su cui sto studiando (Pseduo-differential Operators and the Nash-Moser Theorem di S. Alinhac e P. Gérard) si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \qquad (*)\] Indicano con \(\mathcal{S}'\) lo spazio delle distribuzioni temperate e con \(\hat{\cdot} \) la trasformata di Fourier. Poche righe più avanti viene detto che si vede facilmente che se \(s \in \mathbb{N}\) allora \[ H^s = \left\{ u \in L^2 \, : \, \partial^\alpha u \in L^2 \ \ \forall \, \alpha \text{ multi-indice con } |\alpha|\le s \right\} \qquad (**). \]
Domanda: perché \( (*) \) è definito a partire dalle distribuzioni temperate e non semplicemente da funzioni in \(L^2\) come in \((**)\)? Ci dev'essere qualche identificazione sottesa che non vedo... Dimostrare che \((*)\) e \((**)\) definiscono lo stesso spazio è in effetti facile (basta usare binomio di Newton + proprietà della trasformata di Fourier), a patto però di poter scrivere \(\hat{u} \cdot \hat{u}\) (operazione non lecita in senso distribuzionale).