Spazio di Sobolev frazionario: definizione

[Delirium]

Sono confuso dalla definizione dello spazio di Sobolev frazionario. Il libro su cui sto studiando (Pseduo-differential Operators and the Nash-Moser Theorem di S. Alinhac e P. Gérard) si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \qquad (*)\] Indicano con \(\mathcal{S}'\) lo spazio delle distribuzioni temperate e con \(\hat{\cdot} \) la trasformata di Fourier. Poche righe più avanti viene detto che si vede facilmente che se \(s \in \mathbb{N}\) allora \[ H^s = \left\{ u \in L^2 \, : \, \partial^\alpha u \in L^2 \ \ \forall \, \alpha \text{ multi-indice con } |\alpha|\le s \right\} \qquad (**). \]
Domanda: perché \( (*) \) è definito a partire dalle distribuzioni temperate e non semplicemente da funzioni in \(L^2\) come in \((**)\)? Ci dev'essere qualche identificazione sottesa che non vedo... Dimostrare che \((*)\) e \((**)\) definiscono lo stesso spazio è in effetti facile (basta usare binomio di Newton + proprietà della trasformata di Fourier), a patto però di poter scrivere \(\hat{u} \cdot \hat{u}\) (operazione non lecita in senso distribuzionale).

[dissonance]

Perché se \(s\) è negativo non è detto che \(H^s\subset L^2\). Se \(s<-\frac n 2\) in \(H^s\) entra pure la delta di Dirac.

[Delirium]

E come si vede che $H^s \subset L^2$ per $s>0$?

[dissonance]

Questo è ovvio perché \((1+|\xi|^2)^s\ge 1\) quando l'esponente è positivo. Io queste cose le ho capite meglio sul libro di Bahouri, Chemin e Danchin, nei primi capitoli. È sempre gente della stessa cricca di Gérard, quindi le notazioni saranno uguali. Prova a dargli un'occhiata.

[Delirium]

Questo è ovvio perché \((1+|\xi|^2)^s\ge 1\) quando l'esponente è positivo. [...]

Questo mi e' chiaro. Quello che non capisco e' perche'/come uno spazio di distribuzioni possa essere sottoinsieme/sottospazio di uno spazio di funzioni. Cerco di spiegarmi meglio: prendiamo $s>0$ e $u \in H^s$. Stando alla definizione \((*)\), $u$ e' una distribuzione temperata, e lo e' pure $\hat{u}$ sapendo che $\hat{\cdot} : \mathcal{S}' \to \mathcal{S}'$. Piu' avanti in \((*)\) pero' $\hat{u}$ viene trattata come una funzione (tant'e' che viene integrata in $\xi$). Quindi in qualche modo si sta sottointendendo che le distribuzioni prese in considerazione sono quelle indotte (nel modo usuale) da funzioni (in $L^2$?)...?

[...] Io queste cose le ho capite meglio sul libro di Bahouri, Chemin e Danchin, nei primi capitoli. È sempre gente della stessa cricca di Gérard, quindi le notazioni saranno uguali. Prova a dargli un'occhiata.

Grazie, lunedi' lo prendo in biblioteca.

[dissonance]

Aah guarda è facile. In questo campo si considerano solo robe la cui trasformata di Fourier è una funzione. E a questo punto è solo questione di teorema di Plancherel. Le distribuzioni temperate con la trasformata di Fourier in L2 sono precisamente le funzioni di L2.

[Delirium]

Aah guarda è facile. In questo campo si considerano solo robe la cui trasformata di Fourier è una funzione. E a questo punto è solo questione di teorema di Plancherel. Le distribuzioni temperate con la trasformata di Fourier in L2 sono precisamente le funzioni di L2.

Capito, grazie!