Trasformata Laplace Funzioni Periodiche

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo esercizio:
Calcolare $ L[abs(sin(omegax))] $

Risolvendo mi viene:

$ omega/(omega^2+s^2)(-cos(omegax)*e^(-sx)-s/omega*sin(omegax)*e^(-sx)) $


Sperando sia giusto non riesco a capire su quale intervallo calcolare questo risultato.

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao davicos,

Sperando sia giusto

Direi certamente di no, perché nella trasformata di Laplace $x$ non deve comparire, ma deve essere una funzione di $s$...

Salvo errori, si ha:

\( \displaystyle \mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] = \dfrac{\omega \coth \bigg(\dfrac{\pi s}{2\omega}\bigg)}{\omega^2 + s^2} \)

[davicos]

Si è stata solo per abitudine ma sul foglio era tutto in funzione di s. Il risultato è quello ma ero più interessato ai passaggi.. Riusciresti a farmeli vedere o magari a darmi qualche indizio.

Grazie.

[davicos]

Nessuno riesce a farmi vedere i passaggi?

Grazie.

[pilloeffe]

Come sicuramente saprai, per definizione si ha:

$|sin x| := {(sin x, text{ se } sin x > 0 \iff 0 < x < \pi),(- sin x, text{ se } sin x < 0 \iff \pi < x < 2\pi):}$

Quindi si nota che la funzione $|sin x|$ è una funzione periodica di periodo $\pi $.
Generalizzando un po' il discorso, si nota che la funzione $ |sin(\omega x)| $ è una funzione periodica di periodo $\pi/\omega $.

A questo punto, supponendo $\omega > 0 $:

$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{frac{\pi n}{\omega}}^{frac{\pi n + \pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- frac{\pi s n}{\omega}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $
$ = sum_{n = 0}^{+\infty} (e^{- frac{\pi s}{\omega}})^n int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = frac{1}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $

a condizione che la serie geometrica converga, e ciò si verifica se $Re[s] > 0 $. L'integrale indefinito relativo all'integrale definito che compare nell'ultima eguaglianza si risolve integrando due volte per parti e la sua soluzione si può reperire ad esempio qui. Integrando fra $0$ e $pi/\omega $ si ha:

$int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-st} sin(\omega t) dt = frac{\omega(e^{- frac{\pi s}{\omega}} + 1)}{s^2 + \omega^2} $

Per cui si ottiene:

$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{1 + e^{- frac{\pi s}{\omega}}}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} \cdot frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

Raccogliendo $e^{-frac{\pi s}{2\omega}} $ a numeratore e a denominatore e semplificando in definitiva si ha:

$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{\omega coth(frac{\pi s}{2\omega})}{s^2 + \omega^2} qquad \text{ per } Re[s] > 0 $.

[davicos]

Bene grazie ci proverò.

[pilloeffe]

Ho corretto e modificato il mio post precedente in modo da semplificare un po' le cose...

[davicos]

Bene ho capito. Quello che omettevo era l'utilizzo della formule per le funzioni periodiche proprio perchè non riuscivo a capire quale fosse il periodo ed allora mi mancava un pezzo.
Grazie gentilissimo/a!

[pilloeffe]

Grazie

Prego!

gentilissimo/a

Vada per gentilissimo, grazie...

[davicos]

Bene grazie ancora!