Spettro di un operatore Hermitiano

[dRic]

Salve, mi sono approcciato a questo problema passando attraverso lo studio della meccanica dei quanti (e le mie competenze pertanto vengono da un testo di fisica e non di matematica). Premetto che non sono molto forte in analisi e algebra lineare, quindi vi chiedo, per favore, di non usare un linguaggio troppo "specialistico" (nei limiti del possibile ovviamente!). Il mio problema è quello di capire perché uno spettro di un operatore hermitiano, se continuo, implica che le autofunzioni non siano normalizzabili (non appartengono allo spazio di Hilbert). Cioè, lo spettro non è l'insieme degli autovalori? Data la relazione
$Af = af $
dove $f$ è la funzione e $A$ l'operatore, che relazione sussiste per poter affermare questa cosa? Il mio libro lo dà come cosa ovvia, ma io non so proprio perché.
Grazie in anticipo.

[dissonance]

Moralmente lo spettro è quello, ma ci sono difficoltà matematiche dovute al fatto che sei in uno spazio di dimensione infinita. Pensa sempre prima ad un esempio. Se \(A=p=-i\frac{d}{dx}\), l'operatore momento, allora l'equazione
\[
Af=af\]
ha per soluzioni gli esponenziali complessi
\[
e_a(x)=e^{iax}, \]
che non sono normalizzabili in \(L^2(\mathbb R)\), perché ovviamente
\[
\int_{\mathbb R} |e^{iax}|^2\, dx = \int_{\mathbb R}\, dx = +\infty.\]
Prova a fare lo stesso esercizio con \(A=x\), l'operatore posizione, troverai come autofunzioni delle delta di Dirac, che pure non sono normalizzabili.

Già questi esempi ti possono bastare a intuire che ci sono difficoltà. Nota che in entrambi i casi lo spettro di \(A\) è tutto \(\mathbb R\), quindi non è un insieme discreto. È qui il problema, ma ora tocca entrare nell'analisi funzionale. Sappiamo che \(L^2(\mathbb R)\) è uno spazio di Hilbert "separabile", ovvero, tutti gli insiemi ortonormali sono al più numerabili. Se le autofunzioni di \(A\) fossero veri elementi dello spazio di Hilbert, andremmo in contraddizione con questa proprietà, perché esse formano un sistema ortonormale indicizzato da \(\mathbb R\), quindi più che numerabile.

Il libro sicuramente considera solo spazi di Hilbert separabili, come prescritto dagli assiomi dalla meccanica quantistica.

[dRic]

Gli esempi mi sono ben chiari, grazie mille veramente! Ora sto cercando di masticare la seconda parte della risposta... Stavo pensando di vederla in questo modo: se lo spettro di $A$ è continuo l'autovalore $a$ è sicuramente (almeno in casi fisici, non so in analisi pura) appartenete ad un insieme non numerabile ( \( \mathbb R \)). Siccome non sono molto bravo con l'insiemistica posso brutalmente dire che se $a$ appartiene ad un insieme non numerabile, l'autofunzione $f$ dovrà "arrivare" in un insieme non numerabile cosa che contraddice il fatto che Hilbert sia "separabile" (che sia separabile lo prendo per vero perché non sapevo nemmeno dell'esistenza della parola ).

Posso capire che può sembrare una eresia quello che sto dicendo, ma veramente con le competenze di analisi 1 e 2 di ingegneria non riesco a starci troppo dietro a questi argomenti, scusate

[dissonance]

È così. In effetti non è detto che lo spettro continuo sia tutto \(\mathbb R\), potrebbe essere un altro intervallo, ma comunque è una roba *non numerabile* (come si dice in matematica).

Quanto alla separabilità, come dicevo nel mio post precedente è un assioma della meccanica quantistica. Esistono spazi di Hilbert non separabili, ma non possono essere presi come spazi di Hilbert di nessun sistema quantistico, a meno di andare contro gli assiomi.

[dRic]

Grazie ancora! Una cursiosità: Separabile implica che l'insieme delle basi dello spazio è numerabile? In tale caso se ho uno spazio *non numerabile*, un insieme della sue basi è per forza di cosa non numerabile o può anche essere numerabile?

[killing_buddha]

Separabile può voler dire due cose: uno spazio topologico è separabile se contiene un sottospazio denso di cardinalità $\aleph_0$, oppure uno spazio vettoriale topologico è separabile se ammette una base di cardinalità $\aleph_0$. Fortunatamente, per uno spazio di Hilbert $H$ (considerato con la sua topologia indotta dall'essere di Banach) le due cose sono equivalenti e quindi è sensato chiamarle allo stesso modo.

se a appartiene ad un insieme non numerabile, l'autofunzione f dovrà "arrivare" in un insieme non numerabile cosa che contraddice il fatto che Hilbert sia "separabile"

Perché questa dovrebbe essere una contraddizione?

Separabile implica che l'insieme delle basi dello spazio è numerabile? In tale caso se ho uno spazio *non numerabile*, un insieme della sue basi è per forza di cosa non numerabile o può anche essere numerabile?

Qui non si capisce se stai chiedendo se tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi anche in dimensione infinita (sì: dimostralo), oppure se stai chiedendo se la cardinalità dell'insieme di tutte le basi di uno spazio di dimensione infinita sia non numerabile quando lo era lo spazio (sì, ma non ti serve nemmeno la dimensione infinita: quante basi ha l'$\mathbb R$-spazio vettoriale $\mathbb R$?).

[dRic]

Allora: non lo so. Pensavo di aver capito, ma in realtà non avevo capito nulla. Avevo supposto che un insieme separabile sia anche numerabile per non so quale ragione sbagliata (infatti R che non e' numerabile è pur sempre separabile, giusto?). Morale della favola: non ho capito la risposta di @dissonance.

[dissonance]

Ti manca un pezzetto di analisi funzionale per capire tutto. Su questo libro ("Functional analysis: an introduction" di Eidelman, Milman e Tsolomitis), dovresti capire il Corollario 2.1.8, pag.31. Lì ti spiega che uno spazio di Hilbert è separabile\(^{[1]}\) se e solo se esso ammette una base ortonormale al più numerabile. In questo caso, tutte le basi ortonormali sono al più numerabili. Di conseguenza, come puoi trovare negli esercizi al capitolo 2 del libro nel link,

**non esiste in uno spazio di Hilbert separabile nessun sistema ortonormale più che numerabile.**

In effetti, a noi la definizione topologica di separabilità non interessa. Quello che veramente ci serve è la proprietà tra le stelline. È una conseguenza di questa proprietà che le autofunzioni di un operatore con spettro continuo non possono essere normalizzabili, ovvero, che non possono essere elementi dello spazio di Hilbert.

In ogni caso, non credo che ti serva a molto approfondire in questa direzione. È molto meglio ragionare sugli esempi. Prenditi qualche esempio di operatore con spettro continuo e qualcuno con spettro discreto e calcola le autofunzioni. Vedrai che, in tutti gli esempi, quando lo spettro è discreto le autofunzioni sono normalizzabili (e quindi sono *vere* autofunzioni), e quando lo spettro è continuo non sono normalizzabili (e quindi possono essere considerate al massimo come *autofunzioni generalizzate*).

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[1] Per definizione, uno spazio topologico è separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Per esempio, \(\mathbb R^n\) è separabile.

[dRic]

Grazie mille! Sei stato veramente chiarissimo e di grande aiuto! Ho finalmente capito. Se avrò tempo di approfondire guarderó il testo che ho citato. Grazie ancora

[dissonance]

uno spazio vettoriale topologico è separabile se ammette una base di cardinalità $\aleph_0$.

Per caso stavo rileggendo e mi sono accorto che qua ci sarebbe da fare una precisazione. Questa affermazione è vera per uno spazio di Hilbert con "base ortonormale", perché in generale per uno spazio vettoriale topologico il concetto di base non è ben posto (ci sono tutta una serie di concetti che lo generalizzano, dei quali so ben poco). Sicuramente l'affermazione è falsa se si considera una base algebrica.