Dominio limitato? Misurabile?

[Duj91]

Ciao a tutti! Durante una lezione il prof ha svolto il seguente esercizio.

Sia $Omega = {(x,y,z) : (x+y+z)^2 + (y-z)^2 <= (x-y+z)^2, 1<=y+z<=2}$

Valutare se $Omega$ è limitato, misurabile e nel caso calcolarne il volume.

Nel svolgerlo considera l'applicazione $phi(x,y,z) = (x+y+z, y-z, x-y+z)$ e dopo aver verificato che il determinante del gradiente di $phi$ è diverso da zero ha posto $phi(x,y,z)=(u,v,w)$ e risultando l'applicazione lineare e invertibile manda insiemi limitati in insiemi limitati quindi per valutare la limitatezza dell'insieme ha studiato l'insieme $phi(Omega)={(u,v,w) : u^2+v^2<=w^2, 1<=u-v-w<=2}$.
La prima parte è un cono di vertice l'origine, per valutare se i due piani racchiudono un insieme limitato ha considerato la definizione di cono $K$ e cioè il luogo di punti tale per cui se $bar(x_0)in K rArr (1-t)bar(x_0)+tbar(x) in K $ con $bar(x)$ vertice del cono. Considerando quindi una parametrizzazione delle rette che passano per il vertice e appartengono al cono, ed evidenziata l'intersezione del cono con il piano $w=1$ ha riscritto l'insieme in questo modo $phi(Omega)={(txi ,teta,t):xi^2+eta^2<=1, 1<=t(xi-eta-1)<=2}$. Fin qui tutto ok, la situazione è diventata più confusa per me nei passaggi successivi.
Ha posto $xi-eta-1=epsilon$ e $t=3/(2epsilon)$ a questo punto ha sostituito nella prima condizione ($xi^2+eta^2<=1$) che risulta rispettata se e solo se $ (-(1+epsilon)-sqrt((1+epsilon)^2-2epsilon^2-4epsilon))/2<=eta<=(-(1+epsilon)+sqrt((1+epsilon)^2-2epsilon^2-4epsilon))/2 $.
Se rispettata allora $phi(Omega)sup{(3/(2epsilon)(epsilon+eta+1),(3eta)/(2epsilon), 3/(2epsilon))}$.
Analizzando la distanza di un generico punto dall'origine e sapendo che tale distanza sarà sempre maggiore del modulo della differenza delle singole componenti ottiene $d(P_epsilon, bar(0))>=|3/(2epsilon)|$ che tende a infinito per $epsilon$ che tenda a 0. Conclude quindi che l'insieme è non limitato.
Qualcuno sa spiegarmi gli ultimi passaggi che non mi sono del tutto chiari. Grazie

[killing_buddha]

Sono dei conti; cosa non ti torna?