Integrale da risolvere coi residui

[cicciofrank19]

Salve! Devo svogere il seguente integrale usando il th dei residui:
$ \int _{partial D}(4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $
Ora mi trovo che ha un polo in $pi/4$ . Il problema è che non riesco a classificarne l'ordine. Wolfram mi dice che è un polo del secondo ordine, ma per verificarlo dovrei svolgere il $ lim _{x->pi/4} (z-pi/4)^2 (4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $ , cosa che non mi pare fattibile. L'altra opzione è calcolarsi la serie di Laurent in un intorno di pi/4 e calcolare il termine $ a_(-1) $ . Qualcuno ha idea di come si faccia?
Grazie per l'attenzione

[pilloeffe]

Ciao cicciofrank19,

Benvenuto sul forum!

Innanzitutto... Chi è $D$ che così capiamo chi è $\partial D $?
Forse le cose si semplificano considerando che $cos(2z) = frac{e^{2iz} + e^{- 2iz}}{2} $

[cicciofrank19]

Giusto, scusami: D={ z appartenente a C : |z|<1}

[dissonance]

L'altra opzione è calcolarsi la serie di Laurent in un intorno di pi/4 e calcolare il termine $ a_(-1) $

Buona idea

[cicciofrank19]

Si ma come si fa in questo caso?

[Berationalgetreal]

Salve! Devo svogere il seguente integrale usando il th dei residui:
$ \int _{partial D}(4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $
Ora mi trovo che ha un polo in $pi/4$ . Il problema è che non riesco a classificarne l'ordine. Wolfram mi dice che è un polo del secondo ordine, ma per verificarlo dovrei svolgere il $ lim _{x->pi/4} (z-pi/4)^2 (4z+pi)/((e^(4iz)+1)cos2z) $ , cosa che non mi pare fattibile. L'altra opzione è calcolarsi la serie di Laurent in un intorno di pi/4 e calcolare il termine $ a_(-1) $ . Qualcuno ha idea di come si faccia?
Grazie per l'attenzione

Perché quel limite non ti sembra fattibile? Basta porre \( \zeta = z - \dfrac{\pi}{4} \):

\[ \lim_{z \to \frac{\pi}{4}} { \frac{ \left (4 z + \pi \right) \left (z - \dfrac{\pi}{4} \right)^2 }{\left (e^{4iz} +1 \right) \cos (2z) }} = 2 \pi \lim_{\zeta \to 0} { \frac{\zeta^2}{\left(e^{4i \zeta + i\pi } + 1 \right) \cos \left ( 2 \zeta + \dfrac{\pi}{2} \right)}} = - i\frac{\pi}{4}\lim_{\zeta \to 0} { \frac{2\zeta}{\sin (2 \zeta)} \frac{4i\zeta}{\left (e^{4i\zeta} - 1 \right)}} \]

Ora, o usi i limiti notevoli o usi direttamente il teorema di De L'Hopital (o ancora, visto che siamo in tema, il teorema di Taylor). In ogni caso, risulta che:

\[\lim_{z \to \frac{\pi}{4}} { \frac{ \left (4 z + \pi \right) \left (z - \dfrac{\pi}{4} \right)^2 }{\left (e^{4iz} +1 \right) \cos (2z) }} = - i \frac{\pi}{4} \]