Funzione continua tra spazi metrici

[Angela_Stat]

Ciao a tutti,

è il mio primo post in questo forum e spero di scriverlo correttamente.
Probabilmente la mia domanda è banale, ma avrei bisogno di una spiegazione dettagliata dell'esercizio seguente:

Avendo $X=C[-1,1]$, e la funzione:

$\delta_0: f in X -> f(0)$

Mostrare che $delta_0$ è continua da $(X, \norm{}_\infty)$ a $(\R, ||)$ ma non è continua da $(X, \norm{}_\1)$ a $(\R, ||)$.

Grazie mille e buona giornata!

[Delirium]

Il primo e' facile: osserva che se \(f ,g \in X\), allora \(|f(0) - g(0)| \le \|f - g \|_{L^\infty}\).

Per l'altro: chi e' \(\| \cdot \|_1\)? Norma integrale? In ogni caso devi pensare ad un controesempio.

[Angela_Stat]

Si esattamente è la norma integrale. In realtà sul secondo punto non ho problemi, ho trovato una funzione che $f_n -> f$ in $(X, \norm{}_\1)$ ma $\delta_0(f_n)$ non va in $\delta_0(f)$ in $(\R,||)$. Ma se hai un altro esempio accetto volentieri un secondo parere.

Potresti spiegarmi in maniera estesa il primo punto? Lo so che è facile e banale, ma vorrei capire bene il concetto.

Provo a scriverti il mio pensiero e mi scuso per il linguaggio matematico base.

Ho capito che avendo $f in X$ e utilizzando la definizione di funzione continua nella norma infinito si ha $\norm{f-g}_\infty < \epsilon$ e dunque essendo che con $\norm{}_\infty$ si considera il sup (in questo caso il max), si ha $\norm{f-g}_\infty >= |f(x)-g(x)|$ in particolare in $x=0$ ovvero $|f(0)-g(0)|=|\delta_0(f) - delta_0(g)| < \norm{f-g}_\infty < \epsilon$.

Grazie!

[Delirium]

Si esattamente è la norma integrale. In realtà sul secondo punto non ho problemi, ho trovato una funzione che $f_n -> f$ in $(X, \norm{}_\1)$ ma $\delta_0(f_n)$ non va in $\delta_0(f)$ in $(\R,||)$. Ma se hai un altro esempio accetto volentieri un secondo parere. [...]

Pensavo anch'io ad una cosa simile. Visto che ti basta la continuita', prendi \[ f_n (x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [-1,-1/n) \\ 1 + n x & \text{se } x \in [-1/n ,0] \\ 1 - nx & \text{se } x \in (0,1/n] \\ 0 & \text{se } x \in (1/n,1] \end{cases}\]e \(f \equiv 0\). Hai che \(\|f_n \|_{L^1} \to 0\) ma \(|f_n(0) - f(0)| \equiv 1\) per ogni \(n\).

[...] Ho capito che avendo $f in X$ e utilizzando la definizione di funzione continua nella norma infinito si ha $\norm{f-g}_\infty < \epsilon$ e dunque essendo che con $\norm{}_\infty$ si considera il sup (in questo caso il max), si ha $\norm{f-g}_\infty >= |f(x)-g(x)|$ in particolare in $x=0$ ovvero $|f(0)-g(0)|=|\delta_0(f) - delta_0(g)| < \norm{f-g}_\infty < \epsilon$.

E' corretto; qui prenderai \(\delta=\epsilon\) (nella definizione \(\epsilon\)-\(\delta\) di continuita').

[Angela_Stat]

Perfetto grazie mille!