Borel in Borel tramite omeomorfismo

[melli13]

Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo. Dimostrare che $B$ è un boreliano $<=> f(B)$ è un boreliano.
Non so da dove cominciare, forse perchè ho capito come è fatto un boreliano, ma formalmente non saprei lavorarci.
So che gli aperti sono boreliani, quindi siccome la mia funzione è un omeomorfismo ($f^(-1)$ è continua) manda aperti in aperti. Stessa cosa con i chiusi. Ma non è questo il modo di lavorare, anche perchè sicuramente mi sfuggirà qualche boreliano. Come posso fare? Suggerimenti? Grazie mille

[Wilde]

Ricordati che in generale per verificare la misurabilita' basta verificarla sui generatori della sigma algebra del codominio.
Ti lascio un link dove trovi le dimostrazioni
http://www.dmi.unict.it/~villani/Istitu ... lo%209.pdf

[Bremen000]

Prendiamo $f:(X,\tau_X) \to (Y,\tau_Y)$ spazi toplogici tale che $f$ sia un omeomorfismo.

La famiglia $\mathcal{A}:= \{A \subset Y : f^{-1}(A) \in \sigma(\tau_X)\}$ è una sigma algebra in $Y$ e contiene sicuramente gli aperti di $Y$ e dunque vale anche $\sigma(\tau_Y) \subset \mathcal{A}$.
Dunque, preso $B \subset X$, se $f(B) \in \sigma(\tau_Y)$ allora $f(B) \in \mathcal{A}$ e dunque $f^{-1}(f(B))=B \in \sigma(\tau_X)$.

Discorso analogo per l'inverso, che è esattamente quanto scrive Wilde.

[melli13]

@Wilde: Non sapevo dell'esistenza di questo potentissimo teorema sui generatori. Fantastico!
@Bremen000: Grazie per avermi aiutata a formalizzare il tutto. Così è perfetto
Grazie di cuore ragazzi, siete stati più che chiari e mi avete risposto subitissimo