Integrale da risolvere con il teorema dei residui

[Vienrose]

Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano con un integrale da risolvere con il teorema dei residui:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin x}{x^3+j}\ \text{d} x \]
Ho trovato i poli della funzione che sarebbero $ j $ , $ frac{-j+\sqrt{3}}{2} $ $ frac{-j-\sqrt{3}}{2}$
Ma ora non so quale dei poli prendere per effettuare i residui ed applicare il teorema.
Grazie in anticipo a chi mi risponderà

[pilloeffe]

Ciao Vienrose,

Innanzitutto osserverei che $sin x = Im(e^{ix}) $, per cui considererei la funzione $f(z) := frac{e^{iz}}{z^3 + i} $
Poi, applicando il Teorema dei Residui...

[Vienrose]

Salve, ritorno dopo un poco, io ho fatto la considerazione che mi hai suggerito, da lì in poi ho considerato le soluzioni con parte immaginaria positiva, ne ho calcolato i residui ed ho applicato il teorema. Il mio prof però mi ha corretto con la seguente soluzione:

Vanno bene entrambe?

[edmz]

Vienrose, la cosa sensata è trovare prima i poli e poi valutare quale contorno scegliere. La scelta del contorno ti dirà quali residui saranno necessari. Trovarli tutti quando non necessario a me direbbe soltanto che non hai ben compreso la metodologia di valutazione dell'integrale.

Inoltre, scrivere $\int_{-\infty}^{\infty}f(z) = 2\pi\ j \sum \text{Res}f$ nel tuo caso è una bella fesseria. Il teorema dei residui ha delle ipotesi ben precise e si riferisce a frontiere di domini chiusi, limitati, semplici e regolari (poi puoi usare $\text{Ind}$ per estendere); una cosa scrittura sensata sarebbe
$$\oint_ {\partial^+D} f(z)dz= 2\pi j \sum \text{Res} f(z) $$
dove $D:=[-R,R] \cup \Gamma_r$

da cui scomponi l'integrale nei due cammini, passi al limite per $R\to +\infty$ e valuti l'integrale lungo la semicirconferenza. Non è detto che sia $0$ infatti, anzi.

[Vienrose]

Salve, io ho compreso quello che dici tu e mi trovo con il ragionamento riguardante la scelta del contorno. Il foglio che vi ho fatto vedere era lo svolgimento scritto dal mio Professore. Il mio dubbio non consisteva nel limite di R (cosa su cui concordo con te assolutamente) quanto nel fatto che lui considera sia semicirconferenza positiva che semicirconferenza negativa.

Io invece avrei considerato solamente la semicirconferenza positiva come contorno e alla fine avrei preso la parte immaginaria della soluzione essendoci seno al numeratore, avrei sbagliato?