Residuo di funzione nel polo di secondo ordine (dubbi)

[Falco37]

Buonasera ,
nell'esame di qualche giorno fa, ho avuto tale funzione:


\( \displaystyle f(z) = \frac{e^{iz}-i}{cos(z)^{2}} \)


nel punto \( \displaystyle 3 \pi/2 \) la funzione presenta un polo del secondo ordine. Mi è stato chiesto di calcolarne il residuo.
Ho pensato di applicare la definizione e quindi di calcolare:


\( \displaystyle \lim_{z->3\pi/2} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}(\frac{(z-\frac{3\pi}{2})^2 (e^{iz}-i)}{cos(z)^2}) \)


Tuttavia i calcoli sono molto lunghi.. calcolo prima la derivata, applico più volte Hopital senza venirne a capo per la lunghezza dei calcoli. Ci sono altri modi per risolvere questo residuo? Forse scomponendo il coseno in serie? il mio prof non l'ha mai fatto ma ho sentito dire così da alcuni amici.. cosa ne pensate? Vi ringrazio per la vostra pazienza.

[anonymous_0b37e9]

... nel punto $3/2\pi$ la funzione presenta un polo del secondo ordine ...

Dimostrare l'affermazione di cui sopra mediante un cambiamento di variabile:

$[z=w+3/2\pi] rarr$

$rarr [lim_(z->3/2\pi)((e^(iz)-i)(z-3/2\pi)^2)/cos^2z=lim_(w->0)([e^(i(w+3/2\pi))-i]w^2)/cos^2(w+3/2\pi)=lim_(w->0)(-i(e^(iw)+1)w^2)/sin^2w=-2i]$

potrebbe suggerirti un modo più agevole.