Dimostrazione funzione misurabile pari a 0 a.e

[Angela_Stat]

Buongiorno a tutti,

sono in difficoltà con una semplice dimostrazione, spero che possiate aiutarmi.

Come dimostro che se $f>=0$ misurabile e $\int_{\R^n}^{} f(x)\ dx =0$ allora $|{x \in \R^n | f(x)>0}|=0$ ? con $|$ intendo la misura di Lebesgue.

Grazie a tutti.

[Bremen000]

Non è banale.

Sia $A_n:=\{x \in RR^N : f(x)>= 1/n \} \quad \forall n \in NN_0$

$\int_{RR^N} f(x) dx >= \int_{A_n} f(x) dx >= 1/n |A_n| \Rightarrow 0 = |A_n| $

Da qui sai continuare?

[otta96]

Denotando con $L_+(f,t)={x\inRR^n|f(x)>t}$ hai che $L_+(f,0)=\cup_{n\inNN}L_+(f,1/n)$ allora$ m(L_+(f,0))=lim_{n->+\infty}m(L_+(f,1/n)) $, se per assurdo fosse diversa da $0,EEn_0\inNN$ t.c. $m(L_+(f,1/n_0))>0$, allora l'integrale potresti maggiorarlo con $1/n_0m(L_+(f,1/n_0))>0$, assurdo.
Prova a mettere a punto i dettagli, dovrebbe funzionare.

[Angela_Stat]

Ci provo:

Sappiamo che $ \int_{\R^n}^{} f(x)\ dx =0 $.

Analizziamo
$\{x \in R^n | f(x)>0} = \bigcup_{t>0} ^{} {x \in R^n | f(x) >t} = \bigcup_n \in \N^{} {x \in R^n | f(x) >1/n} \bigcup \bigcup_n \in \N^{} {x \in R^n | f(x) >n}$

Analizziamo dunque:
$|\bigcup_{n \in \N}^{} {x \in R^n | f(x) >1/n} \bigcup {x \in R^n | f(x) >1}| <= \sum |{x \in R^n | f(x)>1/n}| + |{x \in R | f(x) >1}|$

Sappiamo che $ |{x \in R^n | f(x)>1/n}|= 1/n |A_n|$ da te definito e che $|A_n|=0$ dunque abbiamo che
$|{x \in R^n | f(x)>0}| <= |{x \in R | f(x) >1}|$ ovvero $F(0) <= F(1)$ ed è possibile se e solo se $|{x \in R^n | f(x)>0}|=0$ essendo $F()$ funzione di ripartizione non crescente.

Sinceramente non mi convince come dimostrazione.

[Bremen000]

Ciao, purtroppo non ho tanto capito quello che hai scritto; è molto più semplice di così.
Osserva che

$A_n \uparrow A:= \{ x \in RR^N : f(x) >0 \} $ e dunque $|A_n| \to |A|$ cioè $|A|=0$.

[Angela_Stat]

Ciao, purtroppo non ho tanto capito quello che hai scritto; è molto più semplice di così.
Osserva che

$A_n \uparrow A:= \{ x \in RR^N : f(x) >0 \} $ e dunque $|A_n| \to |A|$ cioè $|A|=0$.

Grazie mille (in ritardo), chiarissimo!

[Bremen000]

Prego!