Risoluzione per ricursione

[Saxbenex]

Buongiorno a tutti,

sto cercando di risolvere la seguente equazione:
$$2q_i=q_{i+1}+q_{i−1}$$
con condizioni $q_0=0$ e $q_N=1$. Devo trovare tutte le soluzioni $q_i$ per $i=0,...,N$.
AGGIORNAMENTO: ho scoperto che la soluzione deve essere della forma $q_i=A*i+C$, dove $A$ e $C$ sono costanti i cui valori si ottengono usando le condizioni al bordo, ovvero $C=0$ e $A=\frac{1}{N}$ e dunque la soluzione è $q_i=\frac{i}{N}$. Ma perchè la soluzione è della forma $q_i=A*i+C$?

Grazie mille!

[mic999]

per traslazione degli indici puoi scrivere l'equazione da cosi: $2q_{i}=q_{i+1}+q_{i-1}$ cosi:
$2q_{i+1}=q_{i+2}+q_{i}$ da cui : $q_{i+2} - 2 q_{i+1} + q_{i}$.
Dallo studio dell'equazione omogenea associata si ricava:
$\lambda ^{2} - 2\lambda +1=0 => (\lambda -1)^2 =0 => \lambda_{1,2}=1$ cioè soluzioni coincidenti
dalla teoria quindi tutte le soluzioni dell'equazioni sono esprimibili come $q_{i}= c_1 1^i + i c_2 1^i$ per la molteplicità doppia di 1, con $c_1$ e $c_2$ costanti da determinare con le condizioni al bordo.
da $q_0 = 0 => 0= c_1+0 c_2 => c_1 =0$
da $q_N = 1=> 1= c_1+N c_2 1^i =0+N c_2 => c_2 =1/N$
Sostituendo i valori delle costanti appena determinate nell'espressione sopra, si trova che tutte le soluzioni sono della forma:
$q_{i}= i/N 1^i = i/N$

[Saxbenex]

Grazie mille, molto chiaro!
Solo una domanda: perchè moltiplichi per $i$ il termine $c_2 1^i$?

[mic999]

perchè $\lambda =1$ nella soluzione dell'equazione associata ha molteplicità doppia, quindi dalla teoria segue che la forma di tutte le soluzioni è quella che ti ho scritto...

[Saxbenex]

Ottimo, molto chiaro, grazie mille!!!