Uguaglianza

[Saxbenex]

Buongiorno a tutti,

Mi sono imbattuta in questa uguaglianza..

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} * (pq)^n * s^{2n} = \frac{1}{\sqrt{1-4pqs^2}}$$

Come si risolve? Usando arcsin? Non so proprio come fare.

Grazie a tutti!

[Wilde]

Prova a sviluppare in serie di Taylor
$ \frac{1}{\sqrt{1-4x}} $
e vedere se corrisponde a
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} x^n \]

Non ci ho provato minimamente quindi può essere effettivamente che i conti siano eccessivi. (penso cmq l'idea sia qualcosa del genere)

[Saxbenex]

No, non mi viene..

[killing_buddha]

\[
(1-4x)^{-1/2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1/2}{k}(-1)^k 4^k x^k
\] quindi si tratta di dimostrare che, per ogni $k\ge 0$, si ha \(\binom{2k}{k}=\binom{-1/2}{k}(-1)^k 4^k\)

[Saxbenex]

Non ho mai visto una scrittura del genere! Come hai trovato la prima uguaglianza? Come si calcola il fattoriale di una frazione negativa??

[killing_buddha]

Non ho mai visto una scrittura del genere! Come hai trovato la prima uguaglianza? Come si calcola il fattoriale di una frazione negativa??

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_ ... ial_series

La dimostrazione del fatto che ti interessa si fa per induzione. Prova!

[Saxbenex]

Applicando varie definizioni finisco con l'avere:
$$\binom{-\frac{1}{2}}{k}(-1)^k 4^k=\binom{2k}{k} (-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}$$
che è ben diverso da $$\binom{2k}{k}.$$

Come faccio?

[dissonance]

Ci deve essere un errore nei tuoi calcoli (quando applichi "varie definizioni"), oppure il risultato è sbagliato, non c'è altra possibilità.