Buondì, vorrei un controllo su queste dimostrazioni dove temo di non aver usato qualche ipotesi.
Teorema:
Sia $(\X, \mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura con $\mu$ completa e sia $\{f_n\}_{n \in NN}$ una successione di funzioni misurabili. Allora
(i) Se $f_n \overset{\mu}{\to} f$ e $f_n \overset{\mu}{\to} g$ con $f$ e $g$ misurabili, allora $f \overset{\text{q.o.}}{=}g$.
(ii) Se $f_n \overset{\mu}{\to} f$ con $f$ misurabile e esiste $g$ misurabile tale che $f_n \overset{\text{q.o.}}{<=}g \forall n \in NN$, allora $f \overset{\text{q.o.}}{<=}g$.
Dimostrazione (Tentativo di...)
(i)
Sia
$A_k := \{x \in X : |f-g| >= 1/k \} \quad \forall k \in NN_0 $
Chiaramente
$ A:= \{ x \in X : f(x) \ne g(x) \} = \{ x \in X : |f-g|>0\} = \bigcup_{k \in NN_0} A_k$
Fissati $k \in NN_0$ e $n \in NN$ si ha, per la disuguaglianza triangolare, che
$A_k \subset \{x \in X : |f_n(x)-f(x)| >= 1/(2k) \} \cup \{x \in X : |f_n(x)-g(x)| >= 1/(2k) \} =: A_{f,n,k} \cup A_{g,n,k}$
Per definizione di convergenza in misura si ha che $\mu(A_{f,n,k}) \underset{n}{\to} 0 $ e $\mu(A_{g,n,k}) \underset{n}{\to} 0$ e dunque che $\mu(A_k) =0 \quad \forall k \in NN_0$.
Ma quindi $\mu(A)=0$ cioè $f \overset{\text{q.o.}}{=}g$.
(ii)
Per assurdo si supponga che, posto $A:= \{ x \in X: f(x) > g(x) \}$, si abbia $\mu(A)>0$.
Sia $A_k:= \{ x \in X : f(x)-g(x) > 1/k \} \quad \forall k \in NN_0 $.
Si ha che $A:= \bigcup_{k \in NN_0} A_k$.
Se $A$ ha misura positiva deve esistere almeno un $\overline{k}$ t.c. $\mu(A_{\overline{k}}) = \delta >0$
Sia $\overline{X}:= \{ x \in X : f_n(x) <= g(x) \quad \forall n \in NN\}$, per ipotesi $\mu(X-\overline{X})=0$.
Fissato $n \in NN$ si ha che se $x \in A_{\overline{k}} \cap \overline{X}$ allora $-1/\overline{k} > g(x)-f(x) = g(x) -f_n(x) +f_n(x) -f(x) >= f_n(x)-f(x)$ cioè $|f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k}$ per ogni $x \in A_{\overline{k}} \cap \overline{X}$ e per ogni $n \in NN$.
Nella definizione di convergenza in misura si prenda $\epsilon = 1/\overline{k}$ e sia $n \in NN$ fissato; si ha:
$\mu( \{ x \in X: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \}) = \mu({x \in A_{\overline{k}} \cap \overline{X}: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \}) + \mu({x \in (A_{\overline{k}} \cap \overline{X})^c: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \}) >= \mu({x \in A_{\overline{k}} \cap \overline{X}: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \}) = \mu(A_{\overline{k}}) = \delta >0$
Ma per l'arbitrarietà di $n$ si ha che $\mu( \{ x \in X: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \})>=\delta$ per ogni $n \in NN$ e dunque $\mu( \{ x \in X: |f_n(x)-f(x)| > 1/\overline{k} \})$ non tende a zero quando $n \to \infty$, cioè $f_n$ non tende in misura a $f$ che è la negazione dell'ipotesi.
$\square$
In particolare dove sto usando la completezza?