Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Luigi Martinuccio » 28/11/2017, 10:32

Salve a tutti,

Mi sono imbattuto in questo problema durante il corso di Analisi Complessa, riguardante la parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa.

Avendo un aperto $A$ di $RR^2$ e una funzione $ f in H(A) $ , scrivendo f come $ f = u + i v $ , perchè $ u $ e $v$ sono di classe $C^2(A)$ ?

Mi serve nella dimostrazione che $u$ e $v$ siano funzioni armoniche.

Per ora di queste $u$ e $v$ ho dimostrato che sono differenziabili e rispettano le condizioni di Cauchy Riemann, ma manca qualcosa.

Grazie mille, Luigi.
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda dissonance » 28/11/2017, 10:44

Cosa sai delle funzioni olomorfe? Sai che sono analitiche? Altrimenti puoi dimostrare che le funzioni armoniche sono \(C^\infty\), altro fatto classico che trovi per esempio sul libro di Evans, teorema 6, secondo capitolo.
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Luigi Martinuccio » 28/11/2017, 11:10

Si, che le funzioni olomorfe siano analitiche, lo abbiamo dimostrato.

Abbiamo dimostrato anche che le funzioni armoniche siano di classe $C^infty$, ma questo risultato non penso di poterlo utilizzare in questa dimostrazione, poichè voglio dimostrare che $u$ e $v$ siano di classe $C^2$ a prescindere dal fatto che siano armoniche.
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda dissonance » 28/11/2017, 11:22

Ma allora non c'è niente da fare qui. Siccome \(f\) è analitica, in particolare è \(C^\infty\), cosicché è ovvio che \(u, v\) sono \(C^\infty\) pure loro. Quanto alle funzioni armoniche, sei stato tu a dire che
mi serve nella dimostrazione che \(u\) e \(v\) siano armoniche
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Luigi Martinuccio » 28/11/2017, 11:58

Si, mi sono espresso male in realtà.

Il "mi serve per dimostrare che $u$ e $v$ siano armoniche" era solo per contestualizzare.

Comunque allora mi sorge un altro dubbio.

Se so che $u$ e $v$ sono di classe $C^infty$ allora anche $f=u+iv$ è di classe $C^infty$ quindi olomorfa?

Perchè invece ho dimostrato "solo" che $f=u+iv$ è olomorfa se $u$ e $v$ sono differenziabili e soddisfano le condizioni di C.R.


Grazie mille per il preziosissimo aiuto dissonance! :D
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda dissonance » 28/11/2017, 12:07

Hai le idee confuse sulla teoria. Tu sai che \(f\) è olomorfa, quindi analitica e *in particolare* è \(C^\infty\). ATTENZIONE!!! Non vale il viceversa come affermi. Una funzione \(C^\infty\) può benissimo non essere olomorfa. Qui c'è un dettaglio che ti sta facendo confondere, ed è che se si scrive \(C^\infty\) ci si riferisce alla differenziabilità in senso reale. Ovvero, \(f\colon \mathbb C\to \mathbb C\) è \(C^\infty\) se e solo se essa è \(C^\infty\) se vista come una funzione \(\mathbb R^2\to \mathbb R^2\).

Quanto al tuo dubbio, dovresti portelo al contrario. Devi dimostrare che \(u, v\) sono \(C^\infty\), sapendo che \(f\) è \(C^\infty\). Con quanto scritto sopra ciò dovrebbe esserti ovvio.
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Luigi Martinuccio » 28/11/2017, 12:21

Si, immagino di stare scivolando su qualcosa, ma ho ancora un dubbio.

Durante il corso abbiamo dimostrato che $f$ olomorfa se e solo se $f$ analitica se e solo se $f$ è di classe $C^infty$ , il tutto nel caso complesso, ovvero, con $f$ definita su di un aperto in $RR^2$ e a valori in $CC$ .

Perchè adesso mi stai dicendo che non vale il viceversa?
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda dissonance » 28/11/2017, 13:08

Mi sorprende un po' questa cosa che dici. Comunque, si vede che nel tuo corso si intende con \(C^\infty\) che la funzione è derivabile in senso complesso. Questo implica la derivabilità in senso reale, e non vale il viceversa.
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Luigi Martinuccio » 28/11/2017, 13:57

Va bene dissonance, grazie mille :)

Cerco di fare un po d'ordine tra le mie idee :)
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Re: Armonicità parte reale e complessa di una funzione olomorfa

Messaggioda Ernesto01 » 28/11/2017, 14:04

dissonance ha scritto:Mi sorprende un po' questa cosa che dici. Comunque, si vede che nel tuo corso si intende con \(C^\infty\) che la funzione è derivabile in senso complesso. Questo implica la derivabilità in senso reale, e non vale il viceversa.

Anche a me è successa una cosa simile, nei miei corsi di fisica matematica si utilizzano i termini olomorfa e analitica senza distinzione, ma proprio per definizione.
Tipo def: "una funzione si dice olomorfa (o analitica) se...".
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