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Salve a tutti,

Mi sono imbattuto in questo problema durante il corso di Analisi Complessa, riguardante la parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa.

Avendo un aperto $A$ di $RR^2$ e una funzione $ f in H(A) $ , scrivendo f come $ f = u + i v $ , perchè $ u $ e $v$ sono di classe $C^2(A)$ ?

Mi serve nella dimostrazione che $u$ e $v$ siano funzioni armoniche.

Per ora di queste $u$ e $v$ ho dimostrato che sono differenziabili e rispettano le condizioni di Cauchy Riemann, ma manca qualcosa.

Grazie mille, Luigi.

Cosa sai delle funzioni olomorfe? Sai che sono analitiche? Altrimenti puoi dimostrare che le funzioni armoniche sono \(C^\infty\), altro fatto classico che trovi per esempio sul libro di Evans, teorema 6, secondo capitolo.

Si, che le funzioni olomorfe siano analitiche, lo abbiamo dimostrato.

Abbiamo dimostrato anche che le funzioni armoniche siano di classe $C^infty$, ma questo risultato non penso di poterlo utilizzare in questa dimostrazione, poichè voglio dimostrare che $u$ e $v$ siano di classe $C^2$ a prescindere dal fatto che siano armoniche.

Ma allora non c'è niente da fare qui. Siccome \(f\) è analitica, in particolare è \(C^\infty\), cosicché è ovvio che \(u, v\) sono \(C^\infty\) pure loro. Quanto alle funzioni armoniche, sei stato tu a dire che

mi serve nella dimostrazione che \(u\) e \(v\) siano armoniche

Si, mi sono espresso male in realtà.

Il "mi serve per dimostrare che $u$ e $v$ siano armoniche" era solo per contestualizzare.

Comunque allora mi sorge un altro dubbio.

Se so che $u$ e $v$ sono di classe $C^infty$ allora anche $f=u+iv$ è di classe $C^infty$ quindi olomorfa?

Perchè invece ho dimostrato "solo" che $f=u+iv$ è olomorfa se $u$ e $v$ sono differenziabili e soddisfano le condizioni di C.R.


Grazie mille per il preziosissimo aiuto dissonance!

Hai le idee confuse sulla teoria. Tu sai che \(f\) è olomorfa, quindi analitica e *in particolare* è \(C^\infty\). ATTENZIONE!!! Non vale il viceversa come affermi. Una funzione \(C^\infty\) può benissimo non essere olomorfa. Qui c'è un dettaglio che ti sta facendo confondere, ed è che se si scrive \(C^\infty\) ci si riferisce alla differenziabilità in senso reale. Ovvero, \(f\colon \mathbb C\to \mathbb C\) è \(C^\infty\) se e solo se essa è \(C^\infty\) se vista come una funzione \(\mathbb R^2\to \mathbb R^2\).

Quanto al tuo dubbio, dovresti portelo al contrario. Devi dimostrare che \(u, v\) sono \(C^\infty\), sapendo che \(f\) è \(C^\infty\). Con quanto scritto sopra ciò dovrebbe esserti ovvio.

Si, immagino di stare scivolando su qualcosa, ma ho ancora un dubbio.

Durante il corso abbiamo dimostrato che $f$ olomorfa se e solo se $f$ analitica se e solo se $f$ è di classe $C^infty$ , il tutto nel caso complesso, ovvero, con $f$ definita su di un aperto in $RR^2$ e a valori in $CC$ .

Perchè adesso mi stai dicendo che non vale il viceversa?

Mi sorprende un po' questa cosa che dici. Comunque, si vede che nel tuo corso si intende con \(C^\infty\) che la funzione è derivabile in senso complesso. Questo implica la derivabilità in senso reale, e non vale il viceversa.

Va bene dissonance, grazie mille

Cerco di fare un po d'ordine tra le mie idee

dissonance ha scritto:Mi sorprende un po' questa cosa che dici. Comunque, si vede che nel tuo corso si intende con \(C^\infty\) che la funzione è derivabile in senso complesso. Questo implica la derivabilità in senso reale, e non vale il viceversa.

Anche a me è successa una cosa simile, nei miei corsi di fisica matematica si utilizzano i termini olomorfa e analitica senza distinzione, ma proprio per definizione.
Tipo def: "una funzione si dice olomorfa (o analitica) se...".