Sviluppo di Taylor

[PoliBa12]

Salve a tutti! Nello studio delle perturbazioni nei sistemi dinamici mi sono imbattuto in un passaggio che non mi è affatto chiaro: nello specifico uno sviluppo di Taylor.

Il sistema dinamico è descritto dalle seguenti equazioni differenziali:
$dx/dt = - y -x(1 - 1/sqrt(x^2 + y^2))$
$dy/dt = x - y(1 - 1/sqrt(x^2 + y^2))$

Poste le condizioni:
$x(t=0) = 1$
$y(t=0) = 0$

Esso ammette come soluzioni:
$x = cos(t)$
$y = sin(t)$

Se aggiungo delle perturbazioni infinitesime, le equazioni diventano:
$d(x + \deltax)/dt = - (y + \deltay) - (x + \deltax)(1 - 1/sqrt((x + \deltax)^2 + (y + \deltay)^2))$
$d(y +\deltay)/dt = (x + \deltax) - (y + \deltay)(1 - 1/sqrt((x + \deltax)^2 + (y + \deltay)^2))$

Le dispense del professore, preannunciando uno sviluppo in serie di Taylor, saltano a questo risultato:
$dx/dt + d(\deltax)/dt = - y - x(1 - 1/sqrt(x^2 + y^2)) + [-1 + 1/sqrt(x^2 + y^2) - 2(x^2)/root(3)((x^2 + y^2)^2)]\deltax + [- 1 -2xy/root(3)((x^2 + y^2)^2)]\deltay + t.d.s.$
$dy/dt + d(\deltay)/dt = x - y(1 - 1/sqrt(x^2 + y^2)) + [-1 + 1/sqrt(x^2 + y^2) - 2(y^2)/root(3)((x^2 + y^2)^2)]\deltay + [1 -2xy/root(3)((x^2 + y^2)^2)]\deltax + t.d.s.$

Chi mi dà una mano a giustificare questo passaggio?
Grazie per l' attenzione

[dissonance]

Che dispense? Sarà mica Strumia il professore?

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.