Principal value al variare di $w \in \mathbb{R}$

[feddy]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere il seguente esercizio di analisi complessa

Calcolare, al variare di $w \in RR$,

$int_{-infty}^{infty} cos(wx)/((x^2+9)(x−1))dx$

In che senso è da intendersi tale integrale?

Il mio dubbio, oltre alla correttezza dell'esercizio, è anche su come lasciare i risultati per ogni caso: vanno bene così oppure conviene cercare la parte reale (che è effettivamente il risultato)?

Svolgimento:
Tale integrale, vista la presenza di poli semplici, è da intendersi nel senso del valor principale. Inoltre $f(x) \notin L^1(RR)$
Al fine di calcolare l'integrale, è opportuno notare che $cos(x)=Re(e^(iwx))$.

Per il lemma di Jordan, i casi da discriminare sono evidentemente 3:

1. w>0
2. w<0
3.w=0.


1. Per il lemma di Jordan, l'integrale lungo il cerchio grande orientato in senso antiorario da contributo nullo per $R \rarr +infty$ e dunque $ int_(RR)f(x) dx = 2piiRes(f(z);z=3*i) - oint_(C_\epsilon) f(z)dz=$, con $C_\epsilon$ cerchio piccolo orientato in senso orario, con centro in $x=1$.
Per il lemma del cerchio piccolo, invece, $ oint_(C_\epsilon) f(z)dz=i*pi*Res(f(z);z=1) $ , orientato però col verso antiorario.

Dunque, in definitiva, si ha che $ int_(RR)f(x) dx = 2piiRes(f(z);z=3*i) +i*pi*Res(f(z);z=1) $.

Procedendo col calcolo dei residui:

$Res(f;z=3i)=e^(-3w)/(6i*(3i-1))$
$Res(f;z=1)=e^(iw)/10$.

Pertanto $int_{RR}f(x)dx= Re( pi*e^(3w)/(3*(3i-1)) + ipi*e^(iw)/10)$, $w>0$.

2. $w<0$.

Per il lemma di Jordan ora è nullo il contributo lungo l'arco di cerchio grande orientato in senso orario.
Considerando il circuito $Gamma_{R}{epsilon}$ come semicirconferenza nel semipiano negativo percorsa in senso orario (per poter applicare il lemma di Jordan), si ha che il cerchio piccolo centrato in $x=1$ è ora percorso in senso antiorario.

Per cui, $int_{RR}f(x)dx=-2*pi*i*Res(f;z=-3*i)) - i*pi*Res(f;z=1)$ [ora la singolarità interna al circuito è $-3i$].

Calcolando i residui, ottengo che $int_{RR}f(x)dx=Re( pi/3 e^(3w)/(3i+1) - ipi e^(iw)/10)$ , $w<0$

3. $w=0$

$int_{RR}1/((x^2+9)(x-1))dx$

Usando solamente il lemma del grande cerchio, visto il decadimento a $0$ dell'integranda, ho che tale integrale è, con ragionamente analoghi ai precedenti:

$int_{RR}f(x)dx=2pi*Res(f;z=3i) + i pi Res(f;z=1)=...=-pi/30$

Buonanotte

[anonymous_0b37e9]

... vanno bene così oppure conviene cercare la parte reale ...

Ciao feddy. Non si tratta di convenienza. Il valore dell'integrale proposto è la sola parte reale:

$int_{-infty}^{infty}e^(i\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=int_{-infty}^{infty}(cos\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx+iint_{-infty}^{infty}(sin\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx$

1. $\omega gt= 0$

$int_{-infty}^{infty}e^(i\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=-\pi/30(e^(-3\omega)+3sin\omega)+\pi/10i(e^(-3\omega)-cos\omega)$

$int_{-infty}^{infty}(cos\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=-\pi/30(e^(-3\omega)+3sin\omega)$

$int_{-infty}^{infty}(sin\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=\pi/10(e^(-3\omega)-cos\omega)$

Inoltre, visto che il caso $[\omega lt 0]$ è agevolmente riconducibile al caso $[\omega gt 0]$, non è necessario ripetere i conti:

2. $\omega lt 0$

$Re[I(\omega)]=Re[I(-\omega)]$

$Im[I(\omega)]=-Im[I(-\omega)]$

$int_{-infty}^{infty}e^(i\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=-\pi/30(e^(3\omega)-3sin\omega)-\pi/10i(e^(3\omega)-cos\omega)$

$int_{-infty}^{infty}(cos\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=-\pi/30(e^(3\omega)-3sin\omega)$

$int_{-infty}^{infty}(sin\omegax)/((x^2+9)(x−1))dx=-\pi/10(e^(3\omega)-cos\omega)$

[feddy]

Come al solito, infinite grazie per il check SE. Ho provato a sviluppare i miei risultati e mi torna tutto
Si, so che il risultato e' la sola parte reale, la mia era più che altro pigrizia (erano le due ormai e non avevo voglia di andare avanti )

[dissonance]

Comunque se \(w\) è tale che \(\cos(w)=0\) allora l'integrale converge assolutamente, perché il coseno si mangia la singolarità al denominatore.