Una volta calcolato $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $ , calcolare$ int_(0)^(+infty) log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $
Svolgimento:
Considero il logaritmo principale, definito da $log(z)=log(|z|) + i*Arg(z)$, con $Arg(z) \in [-pi,pi]$.
Considero un circuito come in figura. NOTA: Il $C_r$ in figura lo chiamo $C_epsilon$
Per il teorema dei residui, $int_{RR} log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1))=2*pi*i Res(f(z);z=i)$, visto che l'unica singolarità racchiusa da $C$ è $z=i$.
Calcolando tale residuo, allora l'integrale su $RR$ vale $1/2 * e^(ipi/4)*pi^2$.
Ma, come si nota dalla figura e per al'additività dell'integrale di linea, $C=C_{epsilon} \cup C_R \cup L_1 \cup L_2$. $L_1$ è il segmento che va da $[-R,-epsilon]$ e $L_2$ il segmento che va da $[epsilon,R]$.
Per il lemma del cerchio grande, l'integrale $ oint_(C_R) f(z)dz=0 $, e, tramite disuguaglianza ML maggiorando l'integrale sul cerchio piccolo $C_epsilon$ e prendendo il limite per $epsilon \rarr 0$, si vede che $ oint_(C_epsilon) f(z)dz=0 $.
Per cui, vanno considerati solo i contributi lungo i due segmenti.
Ora arrivano i dolori: non riesco a venirne fuori su come trattare i due segmenti.
La parametrizzazione di $L_1$ è data da $L_1={z \in RR: z=re^(ipi), -R<r<-epsilon}$.
Pertanto, $ oint_(L_1) f(z)dz=-int_{-R}^{-epsilon}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr \rarr -int_{-infty}^{0}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr $
La parametrizzazione di $L_2$ è molto simile $L_2={z \in RR: z=re^(ipi), epsilon<r<R}$.
Allora $ oint_(L_2) f(z)dz=-int_{epsilon}^{R}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr \rarr -int_{0}^{\infty}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr $.
Pertanto, devo calcolare la somma tra $ -int_{-infty}^{0}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr - int_{0}^{\infty}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr $.
Dovrei riuscire ad avere gli stessi estremi, ma così facendo questo termine mi si annulla.
Una volta risolto questo il problema è risolto, visto che ho anche già calcolato, come chiedeva il testo, $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx = pi/(sqrt(2))$.
Grazie a chiunque mi possa illuminare
