Re: \( \lim_n (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt = 0 \Longleftrightarrow \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0\)

Messaggioda Delirium » 04/02/2018, 23:01

dissonance ha scritto:
dissonance ha scritto:Io farei così, ma è solo un abbozzo.[...]

Non sono più tanto sicuro che funzioni. Ho fatto due conti e mi sono accorto che la situazione è piuttosto sottile. Il procedimento che suggerisco nel mio post precedente non usa l'ipotesi che \(T_nf\to 0\) [risp. \(R_rf\to 0\)] e punta a dimostrare una cosa più forte:
\[
\tag{???} \lim_{n\to \infty} T_n f = \lim_{r\to 1^-} R_r f \quad \text{ se uno dei due limiti esiste,}
\]
ma (???) potrebbe essere falsa e di sicuro è più difficile da dimostrare.

È un esercizio un po' seccante perché il fatto che un parametro sia discreto e l'altro continuo è piuttosto fastidioso.

Avevo fatto qualche conto anch'io e non ero riuscito a concludere. Appena ho del tempo consulto l'Evans, grazie!
Delirium
 

Re: \( \lim_n (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt = 0 \Longleftrightarrow \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0\)

Messaggioda dissonance » 05/02/2018, 00:14

NOTA BENE: Ho modificato il messaggio precedente, includendo una soluzione parziale che però si appoggia su un teorema preso da un libro.

In realtà questo esercizio è molto interessante perché chiede di dimostrare che la successione $T_n$ di approssimanti dell'unità converge esattamente nei punti di Lebesgue. Tra l'altro la proprietà "più forte è più difficile da dimostrare" che dicevo prima è in realtà una conseguenza semplice di questo esercizio (se uno dei limiti non è 0 basterà normalizzare per sottrazione).

Di sicuro questo risultato sarà vero in generale, sullo stile del teorema tratto dal Folland del mio post precedente. Immagino che tutte le approssimanti dell'unità ottenute riscalando una funzione non negativa convergano esattamente nei punti di Lebesgue delle funzioni a cui sono applicate.
dissonance
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Re: \( \lim_n (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt = 0 \Longleftrightarrow \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0\)

Messaggioda Delirium » 05/02/2018, 13:32

Grazie per gli spunti. E' un esercizio random che ho trovato scritto su una lavagna. Mi aspettavo fosse qualcosa di standard tipo convergenza dominata, invece la situazione e' piu' sottile (probabilmente proviene dal fondo di qualche capitolo di qualche libro, e risolverlo cosi' senza contesto e' ancora piu' difficile).
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Re: \( \lim_n (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt = 0 \Longleftrightarrow \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0\)

Messaggioda dissonance » 05/02/2018, 14:59

Se consulti il Folland vedrai che la dimostrazione del teorema che ho citato usa un argomento interessante di decomposizione in intervalli diadici. Sarebbe interessante sapere da dove viene l'esercizio per vedere se ci si aspetta di usare lo stesso argomento. Comunque l'esercizio mi è piaciuto anche se è piuttosto fastidioso :-) Le cose di convergenza puntuale spesso sono difficili.
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Re: \( \lim_n (n+1) \int_0^1 t^n f(t) \, dt = 0 \Longleftrightarrow \lim_{r \to 1^-} \frac{1}{1-r} \int_r^1 f(t) \, dt =0\)

Messaggioda dissonance » 06/02/2018, 14:09

Ogni tanto continuo a pensare a questo problema. Abbiamo parlato del teorema tratto da Folland, che a parole dice:

prendendo una funzione \(\phi\in L^1(\mathbb R^d)\) che integra a \(1\), e definendo
\[\tag{1}
\phi_n(x):=n^d \phi(nx)=n^d \phi(\underbrace{x+x+\ldots + x}_{n\ \text{volte}}), \]
otteniamo una successione di funzioni con la proprietà che per ogni \(f\in L^\infty\) la convoluzione \(\phi_n \ast f \) converge ad \(f\) in tutti i suoi punti di Lebesgue \(^{[1]}\). (Queste successioni si dicono spesso "approssimanti dell'unità").

L'esercizio in questione assomiglia molto a questo enunciato, solo che la successione \(\phi_n\) non è ottenuta per riscalamento come in Folland. Tuttavia ci si riconduce al Folland con un cambio di variabile esponenziale.

La ragione per tutto questo è che in effetti l'esercizio in questione è essenzialmente un caso particolare del teorema del Folland a patto di sostituire il concetto di convoluzione per quello di "convoluzione moltiplicativa". Più precisamente, invece di considerare il gruppo delle traslazioni \((\mathbb R^d, +)\), bisogna considerare quello delle dilatazioni \((\mathbb R_{>0},\, \cdot)\), e invece della misura di Lebesgue su \(\mathbb R^d\), che è invariante per traslazioni, la misura \(\frac{dt}{t}\) su \(\mathbb R_{>0}\), che è invariante per "traslazioni moltiplicative": \(t\mapsto at\), per un \(a>0\).

Cominciamo ad osservare che la funzione \(^{[2]}\)
\[\tag{2}
t\mathbf 1_{0<t<1}
\]
integra a \(1\) rispetto a tale misura, ovviamente:
\[
\int_0^\infty t \mathbf 1_{0<t<1} \frac{dt}{t}=\int_0^1\, dt=1.\]

In questo nuovo contesto, il riscalamento (1) va sostituito con
\[
\phi_n(t):=n\phi(t^n), \]
che infatti è tale che \(\int_0^\infty \phi_n(t)\, \frac{dt}{t} =\int_0^\infty \phi(t)\, \frac{dt}{t} .\) La convoluzione, invece, va sostituita con
\[
f\star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} g (t)= \int_0^\infty f(ts^{-1})g(s)\frac{ds}{s}. \]

Il risultato generale analogo a quello di Folland, allora, sarebbe questo (modulo qualche \(\epsilon\) di ipotesi):

Risultato tipo-Folland moltiplicativo (congettura). Per ogni \(f\in L^\infty(0, \infty)\) e per ogni funzione \(\phi\in L^1(0, \infty, \frac{dt}{t})\) si ha che
\[
f\star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} \phi_n (x)\to f(x)
\]
se \(x\) è un punto di Lebesgue di \(f\).

(Dico "sarebbe" perché non lo saprei dimostrare. Inoltre, sicuramente ci vuole qualche \(\epsilon\)-ipotesi di decadimento e roba simile).

L'esercizio di questo post si riformula, con questo nuovo linguaggio, come segue: Presa \(\phi(t)=t\mathbf 1_{0<t<1}\), si ha che
\[
\big(\phi_n \star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} f\big)(1)\to f(1)
\]
se e solo se \(1\) è un punto di Lebesgue per \(f\in L^\infty(0,1)\).

Ecco perché quantomeno l'implicazione "se" di questo esercizio è un caso particolare della congettura "di tipo Folland moltiplicativa". Sarebbe anche interessante vedere se il "solo se" vale in generale. Immagino di si (modulo le solite \(\epsilon\) ipotesi).

------------
[1] Il punto \(x_0\in\mathbb R^d\) è di Lebesgue per \(f\) se
\[
\lim_{r\downarrow 0} \frac{1}{|B(x_0, r)|}\int_{B(x_0, r)} |f(x)-f(x_0)|\, dx \to 0.\]
Nel caso moltiplicativo, il punto \(t_0\in \mathbb R_{>0}\) è di Lebesgue per \(f\) se
\[
\lim_{r\downarrow 0} \frac{1}{\int_{|t-t_0|< r} \frac{dt}{t} } \int_{|t-t_0|<r} |f(t)-f(t_0)|\frac{dt}{t} \to 0.\]
Essendo una proprietà locale, le due condizioni sono equivalenti, non c'è bisogno di distinguere tra "punto di Lebesgue additivo" e "punto di Lebesgue moltiplicativo". Infatti, nella traccia dell'esercizio compare la definizione di punto di Lebesgue "additivo", anche se in effetti siamo in un contesto moltiplicativo.

[2] Probabilmente è più naturale considerare la funzione
\[
\phi(t):=\frac12 \begin{cases} t, & 0<t\le 1 \\ \frac{1}{t}, & 1<t,\end{cases} \]
che è invariante rispetto all'inversione: \(\phi(t^{-1})=\phi(t)\), esattamente come nel caso additivo si considerano di solito funzioni simmetriche rispetto all'origine, ovvero tali che \(g(-x)=g(x)\).
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