Antitrasformata di funzione "gradino"

[valerio7]

Avendo la seguente eq. differenziale: $x''(t) - 4x'(t) + x(t) = 1 - H(t-1)$ con $x(0) = x'(0) = 0$

applico la trasformata di Laplace e ottengo: $p^2X(p) - 4X(p) + X(p) = 1/p - e^(-p)/p$

Quindi isolando $X(P)$ ottengo che per avere $x(t)$ facendo l'antitrasformata dovrò calcolare i Residui di:

$e^(pt)/(p(p^2 - 4p + 1)) - (e^(pt)e^(-p))/(p(p^2 - 4p +1))$ che saranno in $(0, 2+sqrt(3), 2-sqrt(3))$

In 0 come si vede il residuo verrebbe zero e nelle altre due singolarità una certa "formula".

Avendo la funzione gradino, io ho sempre fatto che "shiftavo" il risultato di quanto diceva la funzione gradino, in questo caso da t a t-1 moltiplicando poi per la funzione gradino stessa. Ma sbaglio il risultato e nella soluzione trovo termini che non capisco da dove arrivino. Al di là dei calcoli mi mancano proprio dei pezzi.

Qualche chiarimento?

http://it.tinypic.com/r/aewgaa/9

Non capisco l'1 iniziale, a cui poi seguono la funzione senza il termine esponenziale del gradino , per poi avere il tutto sottratto, moltiplicato e "shiftato" a t-1.

[valerio7]

Up

[anonymous_0b37e9]

... applico la trasformata di Laplace e ottengo $[p^2X(p)-4X(p)+X(p)=1/p-e^(-p)/p]$ ...

Probabilmente intendevi scrivere:

$p^2X(p)-4pX(p)+X(p)=1/p-e^(-p)/p$

visto che ottieni la mia stessa trasformata:

$X(p)=(1-e^(-p))/(p(p^2-4p+1))$

Quindi, dopo aver scomposto:

$X(p)=1/p+(-1/2-sqrt3/3)/(p-2+sqrt3)+(-1/2+sqrt3/3)/(p-2-sqrt3)-e^(-p)/p-((-1/2-sqrt3/3)e^(-p))/(p-2+sqrt3)-((-1/2+sqrt3/3)e^(-p))/(p-2-sqrt3)$

non ti resta che antitrasformare le singole frazioni:

$1/p rarr 1$

$1/(p-2+sqrt3) rarr e^((2-sqrt3)t)$

$1/(p-2-sqrt3) rarr e^((2+sqrt3)t)$

$e^(-p)/p rarr H(t-1)$

$e^(-p)/(p-2+sqrt3) rarr H(t-1)e^((2-sqrt3)(t-1))$

$e^(-p)/(p-2-sqrt3) rarr H(t-1)e^((2+sqrt3)(t-1))$

[valerio7]

$X(p)=1/p+(6-4sqrt3)/(p-2+sqrt3)+(6+4sqrt3)/(p-2-sqrt3)-e^(-p)/p-((6-4sqrt3)e^(-p))/(p-2+sqrt3)-((6+4sqrt3)e^(-p))/(p-2-sqrt3)$

non ti resta che antitrasformare le singole frazioni:

$1/p rarr 1$

$1/(p-2+sqrt3) rarr e^((2-sqrt3)t)$

$1/(p-2-sqrt3) rarr e^((2+sqrt3)t)$

$e^(-p)/p rarr H(t-1)$

$e^(-p)/(p-2+sqrt3) rarr H(t-1)e^((2-sqrt3)(t-1))$

$e^(-p)/(p-2-sqrt3) rarr H(t-1)e^((2+sqrt3)(t-1))$

P.S.
Spesso, l'immagine che hai allegato non è visibile.

Grazie della risposta, però utilizzando i residui come volevo fare non riesco a capire come gestire con la funzione gradino.
Andrà applicato solo sul secondo termine perché viene proprio da $H(t-1)$ nel testo, ma in concreto cosa devo fare mentre calcolo i residui?

[anonymous_0b37e9]

... cosa devo fare mentre calcolo i residui?

Devi spiegarti meglio, non ho capito bene che cosa intendi. Ad ogni modo, essendo poli del 1° ordine:

$Res[f(z),z_0]=lim_(z->z_0)(z-z_0)f(z)$

$Res[1/(z(z^2-4z+1)),0]=lim_(z->0)z/(z(z^2-4z+1))=1$

$Res[1/(z(z^2-4z+1)),2-sqrt3]=lim_(z->2-sqrt3)(z-2+sqrt3)/(z(z^2-4z+1))=1/(6-4sqrt3)=-1/2-sqrt3/3$

$Res[1/(z(z^2-4z+1)),2+sqrt3]=lim_(z->2+sqrt3)(z-2-sqrt3)/(z(z^2-4z+1))=1/(6+4sqrt3)=-1/2+sqrt3/3$

Immagino che tu voglia calcolare i residui per agevolare la scomposizione in fratti semplici. Tra l'altro, ho modificato il mio primo messaggio perché avevo sbagliato i residui. Dopo alcune manipolazioni, si ottiene la stessa soluzione presente nell'immagine che avevi allegato: