Esercizio sulle misure

[mauri54]

Avrei bisogno di una mano per il seguente esercizio.
Siano $ x_0 \in\[0,1] $, $ A=\{(1+i\alpha)\delta_{x_0}:\ \alphain[0,2]\} $. Stabilire se A è chiuso, debolmente chiuso, compatto, debolmente compatto.

La mia idea sarebbe quello di utilizzare l'applicazione $ f:\ \mathbb{C}\rightarrowM\text{(}[0,1]\text{)} $ tale $f(c)=c\delta_{x_0}$ dove $M\text{(}[0,1]\text{)} $ denota lo spazio delle misure complesse sui boreliani di $[0,1]$.
Questa applicazione è lineare. E' continua??
Spererei che sia un'isomorfismo isometrico.

Se così fosse l'esercizio dovrei riuscire a farlo...credo

Grazie
Mauri

[dissonance]

Immagino ti riferisca alla norma della variazione totale su \(M([0, 1])\), è corretto? Ricorda la definizione qui, altrimenti è difficile rispondere.

In ogni caso non puoi sperare di avere un isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione finita come \(\mathbb C\) e uno di dimensione infinita.

[mauri54]

Immagino ti riferisca alla norma della variazione totale su \(M([0, 1])\), è corretto? Ricorda la definizione qui, altrimenti è difficile rispondere.

In ogni caso non puoi sperare di avere un isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione finita come \(\mathbb C\) e uno di dimensione infinita.

Grazie dissonance. Si lo spazio delle misure è normato rispetto alla variazione totale. Hai ragione per quanto riguarda l'isomorfismo, infatti poi c'ho pensato e ho capito di aver scritto una cavolata. Però l'idea è stata utile lo stesso perché alla fine l'ho risolta dicendo che l'applicazione è continua (perché lineare su un dominio di dimensione finita) e $ f(1+i[0,2])=A $ quindi A è compatto perché è immagine continua di un compatto di $\mathbb{C}$, quindi è anche un debolmente compatto. Di conseguenza essendo A compatto e debolmente compatto, A è chiuso e debolmente chiuso.