Delirium ha scritto:\(\mathbb{R}^2\) con la norma \( \| (x,y) \|_{\ell^1} = |x|+|y|\); e' ovviamente riflessivo (ha dimensione finita come spazio vettoriale), ma questa norma non e' uniformemente convessa (dimostralo). Nota che \(\mathbb{R}^2\) con la norma euclidea e' uniformemente convesso; questo ti suggerisce che l'essere (o meno) uniformemente convesso e' una proprieta' dello spazio inteso come spazio normato (e quindi legata alla norma).
Provo a dimostrarlo, dimmi se va bene (per favore): prendo $\epsilon=1,x_1=(1,0),x_2=(0,1)$, ha che $||x_1-x_2||=||(1,-1)||=2>=1=\epsilon$, ma $||(x_1+x_2)/2||=1$, quindi la disuguaglianza $||(x_1+x_2)/2||<1-\delta$ non può essere verificata per nessun $\delta>0$, quindi non è uniformemente convesso.
Ma quindi questo vuol dire tra 'altro che due norme, anche equivalenti, possono essere una uniformemente convessa e una no (nel senso lo spazio)? Questo mi stupisce abbastanza.
Inoltre questo sarebbe anche un controesempio al viceversa del teorema di Milman-Pettis che citavi in un post precedente vero?
