\[ e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} \]Ciao Yonko il tuo dubbio secondo me è perfettamente legittimo.
Per provare a risolverlo, devo discostarmi dal filo del tuo ragionamento.
Partiamo da un fatto: se una funzione è sviluppabile in serie di Laurent(o di Taylor) in $z_0$ allora il suo sviluppo è unico in $z_0$
Questo risultato ha un implicazione molto importante, e cioè che se tu trovi che una serie (centrata in $z_0$ della forma di Laurent) è uguale alla tua funzione, allora quello è l'unico sviluppo possibile in serie di Laurent di quella funzione in quel punto.
Bene se questo è chiaro, allora da qui il passo è breve, perché se io ho che $$f(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$$ allora è la forma stessa della serie che mi dice in quale punto è centrata, questo a prescindere da come ci siamo arrivati(purché siano passaggi legittimi).
Veniamo ai tuoi esempi, partiamo dall'ultimo, per come hai terminato i conti tu non hai trovato lo sviluppo di $e^z$ in $z_0=3$ ma hai trovato lo sviluppo di $e^{x+3}$ in $x_0=0$ e questo te lo dice la forma stessa della serie, per trovare lo sviluppo in $z_0=3$ devi fare la sostituzione $x=z-3$ ottenendo così $$e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^3}{n!}(z-3)^n$$ inoltre anche se può sembrare banale, tu non sei partito dal fatto che conoscevi lo sviluppo di $e^z$ in zero, ma conoscevi lo sviluppo di $e^x$ in zero, questa però è una sottigliezza che ci tenevo a farti notare perché può generare confusione.
Quindi il tuo ragionamento mettendo i puntini sulle i, sarebbe questo: se tu sai ad esempio lo sviluppo di $f(x)$ in $x_0$ allora per trovare lo sviluppo di $f(z)$ in $z_0$ devo fare la sostituzione $x-x_0=z-z_0$. E questo ragionamento scritto così è corretto, sicuramente per le serie di Taylor.
Per le serie di Laurent invece lo è parzialmente, questo perché in tali serie abbiamo anche dei termini frazionari, che non possono essere ricondotti ai termini polinomiali con la sostituzione precedente e viceversa. Però questo non è un problema perché non è la sostituzione che faccio che mi determina il centro della serie, ma la forma della serie stessa.
Quindi se tu hai che in $x_0=0$ $$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$ allora la sostituzione $x=\frac{1}{z}$ ti genera un uguaglianza $$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!z^n}$$ e poiché questa uguaglianza è della forma della serie di Laurent centrata in $z_0=0$, allora per l'unicità dello sviluppo questo è PER FORZA la serie di Laurent di $e^{1/z}$ centrata in zero.
Quindi con le serie di Laurent hanno senso anche altre sostituzioni come ad esempio $x-x_0=\frac{1}{z-z_0}$, ora per quale ragione per il fatto che voglio fare una sostituzione $x=1/z$ questo dovrebbe significare che $1/z=0$ ? Perché il centro è in zero? ma ricorda che è $x_0=0$ non $x=0$ , questa sottigliezza è fondamentale.
Non penso di aver risolto i tuoi dubbi, però forse ti ho dato una mano se c'è qualcosa ancora che non ti torna, scrivi pure