Calcolo di un residuo di una singolarità essenziale

[Maschinna]

Salve a tutti,
di questa funzione mi viene richiesto di calcolare il residuo in z=0
$ f(z)= (e^(1/z)-e^z)/(z^2-1) $ .
MI è venuto in mente che posso sviluppare gli esponenziali ed il denominatore in serie di potenze (con lo sviluppo dell'esponenziale in 0 e con la serie geometrica di ragione -z^2). Però ora non saprei come proseguire: ho provato ad usare la formula per il prodotto di due sommatorie, ma senza risultati.
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Intanto, poiché:

$e^z/(z^2-1)$ regolare in $0 rarr$ Residuo$[(e^(1/z)-e^z)/(z^2-1),0]=$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1)-e^z/(z^2-1),0]=$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),0]$

è possibile sviluppare solo il primo addendo:

$[e^(1/z)=\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)] ^^ [1/(1-z^2)=\sum_{n=0}^{+oo}z^(2n)] rarr [e^(1/z)/(z^2-1)=-\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)*\sum_{n=0}^{+oo}z^(2n)]$

Inoltre, ricordando la definizione e il teorema sottostanti:

Definizione

Teorema

vale il seguente sviluppo:

$e^(1/z)/(z^2-1)=-\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)*\sum_{n=0}^{+oo}z^(2n)=-\sum_{n=0}^{+oo}\sum_{k=0}^{n}z^(-k)/(k!)*z^(2(n-k))=-\sum_{n=0}^{+oo}\sum_{k=0}^{n}z^(2n-3k)/(k!)$

Infine:

$[2n-3k=-1] rarr [k=(2n+1)/3] ^^ [n in NN] ^^ [k in NN] rarr$

$rarr c_(-1)=-\sum_{n=0}^{+oo}1/(((2n+1)/3)!)=-(1/(1!)+1/(3!)+1/(5!)+1/(7!)+1/(9!)+...)$

Per concludere, non rimane che determinare la somma della serie numerica di cui sopra:

$[sinhx=(e^x-e^(-x))/2=\sum_{n=0}^{+oo}x^(2n+1)/((2n+1)!)] rarr [sinh1=(e-e^(-1))/2=\sum_{n=0}^{+oo}1/((2n+1)!)] rarr$

$rarr c_(-1)=(e^(-1)-e)/2$

Ad ogni modo, ti ricordo che puoi procedere in modo più elementare applicando il lemma del grande cerchio:

e calcolando i residui nei due poli del primo ordine $[z=+-1]$:

Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),-1]=lim_(z->-1)(z+1)e^(1/z)/(z^2-1)=lim_(z->-1)(z+1)e^(1/z)/((z+1)(z-1))=-e^(-1)/2$

Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),1]=lim_(z->1)(z-1)e^(1/z)/(z^2-1)=lim_(z->1)(z-1)e^(1/z)/((z+1)(z-1))=e/2$

Infatti:

$EE barR in RR^+ : R gt barR rarr$

$rarr 1/(2\pii)\int_{C_(R)}e^(1/z)/(z^2-1)dz=$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),0]+$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),-1]+$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),1]$

Per concludere, non rimane che passare al limite:

$lim_(R->+oo)1/(2\pii)\int_{C_(R)}e^(1/z)/(z^2-1)dz=lim_(R->+oo)$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),0]+$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),-1]+$Residuo$[e^(1/z)/(z^2-1),1] rarr$

$rarr [0=c_(-1)-e^(-1)/2+e/2] rarr [c_(-1)=(e^(-1)-e)/2]$

[Maschinna]

Grazieeee