Trasformata di Fourier

[ilsaggio]

Ciao a tutti Ho questi due esercizi sulla trasformata di Fourier e non capisco alcuni passaggi:


Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo e nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio ossia:
$ 1/2[Delta(j(omega -1))+Delta(j(omega+1))]=1/2(1+1)=1 $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?

[pilloeffe]

Ciao ilsaggio,

Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?

Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo

Non è una regola di derivazione, ma un caso particolare della ben nota proprietà della trasformata di Fourier seguente:

$ \mathcal{F}[t^n f(t)] = j^n frac{d^n}{d\omega^n} \mathcal{F}[f(t)] $

Nel tuo caso per $x_1(t) $ si ha $n = 1 $ e $f(t) = \delta(t) $, per cui si ha:

$ X_1(j\omega) = \mathcal{F}[x_1(t)] = \mathcal{F}[t \delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \mathcal{F}[\delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \Delta(j\omega) = j frac{d}{d\omega}(1) = 0 $

nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio

Basta che dai un'occhiata alla definizione di $\Delta(j\omega) $ che vale $1 \quad \AA \omega \in RR $, quindi anche per $\omega + 1 $ e $\omega - 1 $...

[ilsaggio]

Grazie innanzitutto per la risposta scusami ma non ho ancora capito l'ultimo passaggio ossia

Basta che dai un'occhiata alla definizione di Δ(jω) che vale 1  ∀ω∈R, quindi anche per ω+1 e ω−1...

Perchè forse mi sfugge il concetto di $ Delta(jomega) $ sarebbe :
$ Delta(jomega)=\mathcal(F) (delta(t)) $ ?

[gugo82]

Beh, c'è scritto al quarto rigo...

[ilsaggio]

ok grazie ora l'ho notato...