Dubbio sulla Trasformata di Laplace

[Mostrillo72]

Ciao a tutti,
Mi trovo alle prese con un sistema del 2 ordine con 2 poli e due zeri.
I giorni dell'università sono lontani e devo affidarmi alle tabelle per antitrasformare ....
Ho trovato che l'antitrasformata di:
$\frac{s^2 + h*s + k} {s*(s+a)*(s+b)}$
è:
$\frac{k}{a*b} + frac{a^2-h*a+k}{a*(a-b)}*e^-{a*t} + frac{b^2-h*b+k}{b*(a-b)}*e^-{b*t}$
perfetto, ma cosa succede all'antitrasformata se ho un "fattore di scala" ?
Tipo:
$\frac{s^2 + h*s + k} {M*s*(s+a)*(s+b)}$

Grazie in anticipo per l'aiuto

[gugo82]

Beh, la trasformata è lineare, quindi le costanti vanno fuori (come per derivata ed integrale).

[Mostrillo72]

Ok,pero' ho un problema ... cerco di rispiegarmi meglio ...
Io ho due sistemi del secondo ordine, diciamo:
$G_1 = w_1^2 / (s^2 + 2*d_1*w_1*s + w_1^2)$
$G_2 = w_2^2 / (s^2 + 2*d_2*w_1*s + w_2^2)$

dove d è il coefficiente di smorzamento (>= 1) ed w la pulsazione naturale. Entrambi i sistemi, se sollecitati da un gradino, partono da zero, sono asintoticamente stabili e, visto che hanno poli reali, non ci sono sovra o sottoelongazioni.

Bene, io voglio trovare uno stimolo da dare al sistema 1, tale che la sua risposta sia uguale alla risposta allo scalino del sistema 2...
In pratica voglio trovare X(s), tale che:

$X(s)*G_1(s) = 1/s * G_2(s)$

Sviluppo e trovo:

$X(s) = (w_2^2 / w_1^2) * 1/s * (s^2 + 2*d_1*w_1 + w_1^2) / (s^2 + 2*d_2*w_2 + w_2^2)$

Quando antitrasformo con la tabella su menzionata trovo che:

$x(t) = (w_2^2 / w_1^2) * ( k/(ab) + (a^2 - ha + k)/(a*(a-b)) * e^(-at) - (b^2 - hb + k)/(b*(a-b)) * e^(-bt))$

dove:
$h = 2*d_1*w_1$
$k = w_1^2$
$a = -w_2*(-d_2 + sqrt(d_2^2 - 1))$
$b = -w_2*(-d_2 - sqrt(d_2^2 - 1))$

Benissimo, ma sento che ho sbagliato qualcosa, perché quando plotto x(t), essa non parte da 0, ma da un valore positivo ...
Possibile ?

Grazie