Integrale definito con residui

Messaggioda Maschinna » 01/05/2018, 07:46

Salve a tutti,
dovrei calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui:
$ int_(0)^(+oo) e^(ix) /(x^2+1) dx $
Se l'integrale fosse esteso a tutto l'asse reale, non avrei nessun problema a svolgere l'esercizio, così come se al numeratore ci fosse il coseno (in quanto sfrutterei la parità della funzione integranda). In questo caso, però, non saprei quale cammino scegliere: ho provato ad integrare anche per parti, ma senza risultati.
Grazie!
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda gugo82 » 01/05/2018, 10:21

Prova a moltiplicare per un logaritmo e ad integrare su un circuito costruito da una piccola circonferenza di centro $0$ e dai due bordi del taglio del piano complesso fatto sul semiasse reale positivo (che serve ad individuare una determinazione monodroma del logaritmo).
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda Maschinna » 01/05/2018, 14:59

Ma in questo caso come farei a chiudere il circuito? Dovrei stare nel semipiano con parte immaginaria positiva affinché l'esponenziale non diverga.

Grazie
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda gugo82 » 01/05/2018, 15:39

Non mi pare che c'entri molto il comportamento dell'esponenziale, poiché il raggio della circonferenza lo mandi a $0$ alla fine...

Te l'ho detto, prova.
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda Maschinna » 01/05/2018, 16:44

Forse non ho capito come costruire il circuito, però. Perché non mi risulta chiuso
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda feddy » 01/05/2018, 17:37

Sperando ti possa essere utile: click
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda Maschinna » 01/05/2018, 17:59

Grazie!
Quello che intendo è che il contributo sulla circonferenza grande non è nullo, per il fatto che l'esponenziale diverge nella parte di circonferenza sotto
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda gugo82 » 02/05/2018, 06:58

Maschinna ha scritto:Ma in questo caso come farei a chiudere il circuito? Dovrei stare nel semipiano con parte immaginaria positiva affinché l'esponenziale non diverga.

Grazie

Hai ragione... Si vede che non calcolo integrali coi residui da un po'.

Ci devo pensare.
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Re: Integrale definito con residui

Messaggioda Maschinna » 02/05/2018, 09:29

Grazie :D
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Messaggioda anonymous_0b37e9 » 03/05/2018, 22:04

Poiché l'integrale che hai proposto, dovendo esprimersi mediante la seguente funzione speciale:

Exponential integral

$Ei(x)=-\int_{-x}^{+oo}e^(-t)/tdt$

è tutt'altro che banale:

Wolfram

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=(Ei(1)-e^2Ei(-1))/(2e)~~0.646761$

sorge il dubbio che sia il frutto di una tua iniziativa personale. Ad ogni modo, premesso che:

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=$

$=1/(2i)\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x^2+1)dx-1/(2i)\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x^2+1)dx=$

$=-1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx$

si può procedere considerando le seguenti 4 funzioni ausiliarie e i loro rispettivi percorsi d'integrazione.

1. $f_1(z)=e^(iz)/(z-i)$

$\gamma_1$ percorsa in senso antiorario

Immagine

$\int_{\gamma_1}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-i\int_{0}^{1-r}e^(-t)/(it-i)dt-i\int_{1+r}^{R}e^(-t)/(it-i)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-1/e\int_{0}^{1-r}e^(-(t-1))/(t-1)dt-1/e\int_{1+r}^{R}e^(-(t-1))/(t-1)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-1/e\int_{-1}^{-r}e^(-y)/ydy-1/e\int_{r}^{R-1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0$

Passando al limite per $[r rarr 0^+]$ e per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx-1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/e=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx=1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/e$


2. $f_2(z)=e^(iz)/(z+i)$

$\gamma_2$ percorsa in senso antiorario

Immagine

$\int_{\gamma_2}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-i\int_{0}^{R}e^(-t)/(it+i)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{0}^{R}e^(-(t+1))/(t+1)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{1}^{R+1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0$

Passando al limite per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx=e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy$


3. $f_3(z)=e^(-iz)/(z-i)$

$\gamma_3$ percorsa in senso orario

Immagine

$\int_{\gamma_3}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx+i\int_{-R}^{0}e^t/(it-i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx+i\int_{0}^{R}e^(-t)/(-it-i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{0}^{R}e^(-(t+1))/(t+1)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{1}^{R+1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0$

Passando al limite per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx=e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy$


4. $f_4(z)=e^(-iz)/(z+i)$

$\gamma_4$ percorsa in senso orario

Immagine

$\int_{\gamma_4}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx+i\int_{-R}^{-1-r}e^(t)/(it+i)dt+i\int_{-1+r}^{0}e^(t)/(it+i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx+i\int_{1+r}^{R}e^(-t)/(-it+i)dt+i\int_{0}^{1-r}e^(-t)/(-it+i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx-1/e\int_{1+r}^{R}e^(-(t-1))/(t-1)dt-1/e\int_{0}^{1-r}e^(-(t-1))/(t-1)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx-1/e\int_{r}^{R-1}e^(-y)/ydy-1/e\int_{-1}^{-r}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0$

Passando al limite per $[r rarr 0^+]$ e per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx-1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/e=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx=1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/e$


In definitiva:

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=$

$=-1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx=$

$=-1/(4e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/(4e)+e/4\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy+e/4\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy-1/(4e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/(4e)=$

$=-1/(2e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+e/2\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=$

$=(Ei(1)-e^2Ei(-1))/(2e)$
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