ho svolto un esercizio di processi stocastici (che per la verità altro non è che teoria della misura, ed è il motivo per cui ho postato qui) che mi sembra fin troppo semplice.
Eccolo:
Dato uno spazio probabilizzato $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ e una sub-sigma algebra $\mathcal{D} \subset \mathcal{F}$, consideriamo la sequenza ${Y_n}_{n \geq 0}$ di variabili aleatorie definite su $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ e tali che $Y_n \uarr Y \text{ q.c.}$, con $Y$ tale che $\mathbb{E}[Y] < + \infty$.
Provare che $\mathbb{E}[Y_n | \mathcal{D}] \rarr \mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]$
$ \mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]$ è l'aspettazione condizionale.
Proof:
Dalle ipotesi appare evidente che vada usato Beppo-Levi.
Per l'aspettazione condizionale è noto che $E(Y_n|\mathcal{F}) \rarr E(Y|\mathcal{F}) $ per una sequenza $Y_n$ crescente di funzioni misurabili convergente a $Y$.(Beppo Levi) (in questo caso banalmente lo sono perché le variabili aleatorie altro non sono che funzioni misurabili).
Vale inoltre il cosiddetto 'lemma della torre', cioè se $\mathcal{D} \subset \mathcal{F}$, allora $E(E(Y|\mathcal{F})|\mathcal{D}))=E(Y|\mathcal{D})$
Quindi, poichè le ipotesi per la convergenza monotona sono verificate, vale
$E(Y_n|\mathcal{F}) \rarr_{n \rarr +\infty} E(Y|\mathcal{F}) \text{ q.c.}$
La mia idea era dunque di considerare
$E(E(Y_n|\mathcal{F})|\mathcal{D})) \rarr E(E(Y|\mathcal{F})|\mathcal{D}))$
Ma il membro di sinistra è uguale a
$E(Y_n | \mathcal{D})$
Mentre il membro di destra è
$E(Y|\mathcal{D})$
E per cui l'asserto è dimostrato.
Sinceramente mi sembra fin troppo semplice, e questo non mi piace. Gradirei un vostro parere a riguardo
