Aiuto: integrale con metodo dei residui

[GattoObeso]

$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx $, al variare di $ m,n in Z $

Qualche idea su come risolverlo?
Con la classica sostituzione $ z=e^(ix) $ si incontra qualche problemino nel calcolo dei residui.
Credo bisogni riscrivere il numeratore in una qualche forma più semplice.

Per esempio $ int_(0)^(2pi) (cos(nx))/(1-cos(x)) dx $ lo si risolve osservando che è la parte reale dell'integrale $ int_(0)^(2pi) (e^(i nx))/(1-cos(x)) dx $.

[pilloeffe]

Ciao GattoObeso,

Benvenuto sul forum!
... E complimenti per il nickname...

La butto lì... Forse potresti considerare che $ sin(mx) sin(nx) = 1/2 [cos[(m - n)x] - cos[(m + n)x] $ e spezzare l'integrale:

$ int_(0)^(2pi) (sin(mx)sin(nx))/(1-cos(x)) dx = 1/2 {int_(0)^(2pi) (cos[(m - n)x])/(1-cos(x)) dx - int_(0)^(2pi)(cos[(m + n)x])/(1-cos(x)) dx } $

[GattoObeso]

Oh mio dio! Le formule di Werner che avevo completamente rimosso!
Credo sia decisamente il modo giusto per risolvere l'integrale, anche perché si riconduce all'esempio che avevo fatto.

Grazie mille!