Devo risolvere questo integrale (1)
\[\int_{0}^{\infty }\frac{logx^3}{8+x^3}\]
Per risolverlo parto da
(2) \[\int_{0}^{\infty }\frac{log^2z^3}{8+x^3}\]
e, considerando che\[logz=logx+2\pi i\] ottengo \[-36 \pi(\int_{0}^{\infty }\frac{-\pi+ilog(x)}{8+x^3}dx)\]
A questo punto risolvo con i residui \[ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{8+x^3} \] e se non sbaglio, applicando Jordan ottengo
\[\frac{\pi^2}{6}+\pi \frac{\sqrt{3}-1}{12}\]
In teoria ora, sostituendo questo risultato con l’equazione prima trovata e eguagliandola al risultato di (2) dovrei trovare (1), ma se cerco i residui di (2) mi viene furi qualcosa di cui dubito la correttezza e che comunque non so come trattare dato che mi resta uno strano log8
\[\frac{\pi}{12}(log(2e^{i\pi/3})^3)^2+\frac{(log2e^{3i\pi})^2i\pi}{6}+\frac{\pi}{12}(log(2e^{5/3i\pi})^3)^2(-i-\sqrt{3})\]
E qui mi fermo. In un esercizio analogo vedo però che il prof a questo punto usa \[log^{2}z=(logx+i\pi)^2=lg^2x+2\pi ilogx-\pi^2\] che proprio non capisco!
Grazie