Funzionali semicontinui

[otta96]

Dato un $RR$-spazio vettoriale topologico $V$ si sa che i funzionali lineari non sono sempre continui (https://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuous_linear_map), ma quello che io mi stavo chiedendo era come si comportavano i funzionali lineari semicontinui, nel senso, esistono sia funzionali lineari che non sono semicontinui? A quel punto credo sia equivalente che non lo è in nessun punto a non esserlo in un punto.
Esistono funzionali lineari semicontinui ma non continui?
P.S. Io ho detto che $V$ è un $RR$-spazio vettoriale topologico, ma se c'è bisogno di qualche proprietà in più (tipo di Banach, normato o che so io) di cui avete bisogno non esistate ad assumerla.

[gugo82]

Già se $V= RR$ ci sono funzioni semicontinue ma non continue... Quindi non credo che la situazione migliori nel caso generale.

[otta96]

Funzioni, ma non funzionali, i funzionali da $RR$ in sé sono le moltiplicazioni per un reale, in particolare sono continui.

[gugo82]

No, aspetta... Chiariamo un po' di terminologia di base.
Usualmente, un funzionale è una qualsiasi funzione $f:V -> RR$; quei funzionali che godono della linearità si chiamano funzionali lineari.

Detto ciò, vorresti un esempio di funzionale lineare semicontinuo ma non continuo, a quanto ho capito... Ci si deve pensare.

[otta96]

Davvero? Ero sicuro che con funzionali si intendessero lineari, allora mi scuso perché la domanda iniziale è sbagliata, al posto di funzionale ci va funzionale lineare, ora correggo.

[dissonance]

Se \(f\colon V\to \mathbb R\) è lineare e semicontinua inferiormente, allora essa è anche semicontinua superiormente e quindi è continua. Qui assumo solo che \(V\) sia uno spazio vettoriale munito di una topologia rispetto alla quale l'operazione \(x\mapsto -x\) è continua.

Dimostrazione. La funzione \(g(x)=f(-x)\) è semicontinua inferiormente. Per linearità, \(g(x)=-f(x)\), quindi \(g\) è anche semicontinua superiormente.

[gugo82]

Ecco... Mi sembrava che la linearità forzasse un po’ le cose, ma ieri sera non avevo il tempo di pensarci.
Grazie dissonance.

[dissonance]

Ma di niente. Come tu sai bene, se un funzionale lineare non è continuo allora è "catastroficamente" discontinuo (non limitato su ogni aperto, cose del genere). Addirittura mi pare che ci siano modelli di teoria degli insiemi su cui tutti i funzionali lineari sugli spazi di Hilbert sono continui, ma sono cose di cui non so nulla e che non mi sembra il caso di approfondire.

[otta96]

Grazie dissonance! La risposta che mi hai dato era esattamente quello che stavo cercando, un po' me lo immaginavo che valesse qualcosa del genere, ma non mi veniva in mente niente di esplicito.