Vedo che non ci sono molti fan degli spazi di Hilbert
. Metto la dimostrazione casereccia per chi fosse interessato:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Poiché $T$ è simmetrico, lineare e definito ovunque anche $T^2 = T \circ T$ è simmetrico, lineare e definito ovunque.
Siano $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ e $x \in H$ tali che $x_n \to x$. Voglio mostrare che $Tx_n \to Tx$.
Le successioni $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{T^2x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sono debolmente convergenti rispettivamente a $Tx$ e $T^2x$. Infatti, sia $A=T$ o $A= T^2$, allora per ogni $y \in H$ si ha:
\[ \langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, Ay \rangle \to \langle x, Ay \rangle = \langle Ax, y \rangle \]
e dunque le successioni $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{T^2x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sono anche limitate.
Dimostro che $\{Tx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è di Cauchy:
\[ \| Tx_n - Tx_m \|^2 = \langle Tx_n - Tx_m, Tx_n - Tx_m \rangle = \langle (x_n-x_m), T^2(x_n-x_m) \rangle \leq \|x_n-x_m\| \|T^2x_n -T^2x_m\| \leq \|x_n-x_m\| (\|T^2x_n\| + \|T^2x_m\|) \to 0 \]
Ma dunque esiste $z \in H$ t.c. $Tx_n \to z$ ma quindi vale anche \( Tx_n \rightharpoonup z \) ma la topologia debole è T2 e quindi $z=Tx$.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)