FeFeZ ha scritto:Allora, nel primo caso ho inserito il modulo per sbaglio. Riesci a spiegarmi il perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}?
Nel contesto di $\mathbb{C}$, che è quello che ci interessa, un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Come puoi vedere facilmente $0+j0$ è un punto di accumulazione di $\gamma$ ma non appartiene a $\gamma$. Inoltre puoi verificare che, per esempio, per il punto $1+j$ non esiste alcuna palla centrata in esso interamente contenuta nell'insieme (un rapido disegno può aiutare). Dunque $\gamma$ non è né aperto né chiuso.
La chiusura di $\gamma$ è il più piccolo chiuso che contiene $\gamma$ o equivalentemente $\gamma$ unito ai suoi punti di accumulazione. Puoi verificare che $0+j0$ è l'unico punto di accumulazione dell'insieme e dunque la chiusura di $\gamma$ è $\gamma \cup \{0+j0\}$.
Infine puoi verificare che $Int(\gamma)$ è l'insieme vuoto e dunque la frontiera di $\gamma$ è data da:
\[ \partial \gamma = \overline{\gamma} \setminus Int(\gamma) = \gamma \cup \{0+j0\} \setminus \emptyset = \gamma \cup \{0+j0\} \]
FeFeZ ha scritto:Mentre nel secondo dico che gamma è aperto perchè per la definizione di aperto se prendo un qualsiasi punto che appartiene a gamma esiste sempre una crf di raggio r interamente contenuta in gamma. Corretto?
Si! Ancora più banalmente puoi osservare che il singoletto \( \{3-j\} \) è un insieme chiuso (è sempre vero negli spazi metrici e quindi in particolare in $\mathbb{C}$) e dunque, essendo $\gamma$ il complementare di un chiuso, deve essere aperto.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)