Integrali di Cauchy Goursat

[FeFeZ]

Ciao a tutti dovrei risolvere i seguenti integrali:

$f(z)=1/(z^2+4)^2, Omega={zinCC: |z|<2}$

$f(z)=cosh(z)/(z^4), Omega={zinCC: |Rez|+|Imz|<=1}$

Io pensavo di applicare la formula di cauchy goursat che dice $1/(2pij)int_{partialOmega}^{}g(z)/(z-zo) dz = g(z0)$.
Il problema è che non so bene come applicarla, qualcuno mi può spiegare e aiutare con i due esercizi?
Grazie!

[feddy]

Cauchy Goursat dice sostanzialmente che se $f$ è olomorfa nell'interno di una curva di Jordan $\gamma$, allora $\oint_{gamma} f dz=0$.

La formula che hai postato alla fine è la formula integrale di Cauchy.

[killing_buddha]

Ma "risolverli" significa integrarli sul bordo dei due $\Omega$? Mi sembra tanto una di quelle domande del tipo "quanto fa questa equazione". (La risposta ovviamente è "dipende: deve essere uguagliata a zero o ad altro?")

[anonymous_0b37e9]

Aggiungo che, per quanto riguarda il primo integrale:

$f(z)=1/(z^2+4)^2$

$\Omega={z in CC: |z|<2}$

se, come presumibile, deve essere inteso sul bordo di $\Omega$, la presenza di due poli del secondo ordine $[z=+-2i]$ sul percorso di integrazione richiede una particolare cautela:

$[z=2e^(i\theta)] rarr [dz=2ie^(i\theta)]$

$\int_{partial\Omega}f(z)dz=lim_(\epsilon->0^+)[\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}f(z)dz+\int_{\pi/2+\epsilon}^{3/2\pi-\epsilon}f(z)dz+\int_{3/2\pi+\epsilon}^{2\pi}f(z)dz]$

A parole, dovendo introdurre il medesimo $\epsilon$ in $[\theta=\pi/2]$ e in $[\theta=3/2\pi]$, l'integrale deve essere inteso nel senso del valor principale per la presenza di tre cancellazioni diverse:

1. $[1/(z-2i)]$ in $[z=2i]$

2. $[1/(z+2i)]$ in $[z=-2i]$

3. $[1/(z-2i)^2 ^^ 1/(z+2i)^2]$ in $[z=2i ^^ z=-2i]$

Per esempio, per quanto riguarda la prima cancellazione, premesso che:

$f(z)=1/(z^2+4)^2=1/((z+2i)^2(z-2i)^2)=$

$=i/32*1/(z+2i)-1/16*1/(z+2i)^2-i/32*1/(z-2i)-1/16*1/(z-2i)^2$

si ha:

$\int_{partial\Omega}1/(z-2i)dz=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}1/(2e^(i\theta)-2i)2ie^(i\theta)d\theta+\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}1/(2e^(i\theta)-2i)2ie^(i\theta)d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}e^(i\theta)/(e^(i\theta)-i)d\theta+i\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}e^(i\theta)/(e^(i\theta)-i)d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i/2\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}(1+icos\theta/(1-sin\theta))d\theta+i/2\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}(1+icos\theta/(1-sin\theta))d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i\pi/4+1/2log[1-sin(\pi/2-\epsilon)]+i3/4\pi-1/2log[1-sin(\pi/2+\epsilon)]]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i\pi+1/2log(1-cos\epsilon)-1/2log(1-cos\epsilon)]=$

$=i\pi$

nonostante:

$lim_(\epsilon->0^+)1/2log(1-cos\epsilon)=-oo$

Tuttavia, mentre la seconda cancellazione è analoga alla prima, quella relativa ai due poli del secondo ordine non può essere ottenuta trattando questi ultimi, come sopra, separatamente. Proprio per questo motivo è necessario introdurre il medesimo $\epsilon$ in $[\theta=\pi/2]$ e in $[\theta=3/2\pi]$:

$\int_{partial\Omega}1/(z-2i)^2dz=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}1/(2e^(i\theta)-2i)^2 2ie^(i\theta)d\theta+\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}1/(2e^(i\theta)-2i)^2 2ie^(i\theta)d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i/2\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}e^(i\theta)/(e^(i\theta)-i)^2d\theta+i/2\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}e^(i\theta)/(e^(i\theta)-i)^2d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[-1/4\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}1/(1-sin\theta)d\theta-1/4\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}1/(1-sin\theta)d\theta]$

$\int_{partial\Omega}1/(z+2i)^2dz=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[\int_{0}^{3/2\pi-\epsilon}1/(2e^(i\theta)+2i)^2 2ie^(i\theta)d\theta+\int_{3/2\pi+\epsilon}^{2\pi}1/(2e^(i\theta)+2i)^2 2ie^(i\theta)d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[i/2\int_{0}^{3/2\pi-\epsilon}e^(i\theta)/(e^(i\theta)+i)^2d\theta+i/2\int_{3/2\pi+\epsilon}^{2\pi}e^(i\theta)/(e^(i\theta)+i)^2d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[1/4\int_{0}^{3/2\pi-\epsilon}1/(1+sin\theta)d\theta+1/4\int_{3/2\pi+\epsilon}^{2\pi}1/(1+sin\theta)d\theta]=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[1/4\int_{-\pi}^{\pi/2-\epsilon}1/(1-sinx)dx+1/4\int_{\pi/2+\epsilon}^{\pi}1/(1-sinx)dx]$

$\int_{partial\Omega}1/(z-2i)^2dz+\int_{partial\Omega}1/(z+2i)^2dz=$

$=lim_(\epsilon->0^+)[-1/4\int_{0}^{\pi/2-\epsilon}1/(1-sin\theta)d\theta-1/4\int_{\pi/2+\epsilon}^{2\pi}1/(1-sin\theta)d\theta+$

$+1/4\int_{-\pi}^{\pi/2-\epsilon}1/(1-sinx)dx+1/4\int_{\pi/2+\epsilon}^{\pi}1/(1-sinx)dx]=0$