Esponenziale di un operatore

Salve a tutti, ho un dubbio essenzialmente matematico che nasce da una questione di meccanica quantistica, spero non me ne vogliate se posto in questa sezione usando la notazione dei fisici.

Comunque, vorrei sapere se in generale, dato un vettore \(\displaystyle |\psi\rangle \) in uno spazio di Hilbert, si può capire come agisce l'esponenziale di un operatore sullo stato, a patto di conoscere l'azione dell'operatore sullo stesso stato. Ovvero, cosa possiamo dire di \(\displaystyle \exp (\hat A)|\psi\rangle \) conoscendo \(\displaystyle |\psi'\rangle=\hat A|\psi\rangle \).

In particolare, mi interessa il caso in cui tale vettore sia autovettore dell'operatore, cioè se \(\displaystyle \hat A|\psi\rangle=a|\psi\rangle \), (\(\displaystyle a\in\mathbb{C} \)).

Parte di fisica: il caso concreto sarebbe l'azione dell'operatore di evoluzione temporale per sistemi con hamiltoniane indipendenti dal tempo su autostati dell'energia, ovvero \(\displaystyle \exp(-i\hat H t/\hbar)|\psi_n\rangle \), che dovrebbe restituire \(\displaystyle \exp(-iE_n t/\hbar)|\psi_n\rangle \) dove $E_n$ è l'autovalore di energia associato all'autostato $n$-esimo.

Grazie in anticipo!

Se $P$ è una matrice invertible, è facile calcolare che \(e^{P^{-1}AP} = P^{-1}e^AP\), cosicché se diagonalizzi $A$ il suo esponenziale è quel che ottieni facendo gli esponenziali degli autovalori e cambiando poi base con $P$. Più in particolare, se $v$ è un autovettore di autovalore $\alpha$ per $A$, cioè se $Av=\alpha v$, allora $e^Av=e^\alpha v$, come si evince dalla pseudo-computazione
\[
e^A v = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^nv}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}v=e^\alpha v
\]

Aggiungo un commento alla risposta corretta di KB.

si può capire come agisce l'esponenziale di un operatore sullo stato, a patto di conoscere l'azione dell'operatore sullo stesso stato.

Non è sufficiente. Bisogna conoscere \(A|\psi\rangle, A^2|\psi\rangle, A^3|\psi\rangle\ldots\), per poterli inserire nella formula di Taylor dell'esponenziale. Se \(|\psi\rangle\) è un autovettore allora è facile.

Ho capito. Grazie mille ad entrambi!