Queste domande andrebbero postate nella sezione di Geometria (a cui servirebbe proprio una sottosezione "superiore" come fatto per Analisi).
Non so risponderti nel dettaglio, ma per completare quello spazio e renderlo di Hilbert (nel caso riemanniano) si devono introdurre spazi di Sobolev di $k$-forme. Questo diventa importante quando si vuole fare dell'analisi su varietà e dimostrare esistenza e unicità di problemi differenziali. Per definire il codifferenziale non è necessario che lo spazio sia di Hilbert.
Se non conosci gli spazi di Sobolev (negli spazi euclidei), ti faccio un esempio introduttivo. Considera lo spazio delle funzioni $C^1([0,1],\mathbb{R})$ e considera l'operatore di derivata $d/dx$. Definisci il prodotto scalare:
\[(f,g) := \int_0^1 fg dx\]
Dato che siamo in un compatto questo è ben definito e induce una norma $\|f\| = \sqrt{(f,f)}$. Ora, lo spazio $C^1([0,1])$ con $(\cdot,\cdot)$ è completo, ovvero di Hilbert?
No! Ad esempio ci possono essere successioni di funzioni $C^1$ che convergono in norma a funzioni discontinue. L'idea è quello di completare questo spazio e il completamento è $L^2([0,1])$, come forse sai.
Ma ora abbiamo un problema! L'operatore $d/dx$ non si estende a $L^2$. Ricorda infatti che le funzioni di $L^2$ non sono nemmeno continue
1. Quindi abbiamo messo a posto l'integrabilità e la completezza ma abbiamo perso totalmente il concetto di derivata.
Gli spazi di Sobolev servono proprio a conciliare questi due estremi definendo un concetto di derivata in spazi $L^p$ e permettono quindi di studiare le equazioni differenziale nel corretto contesto dell'analisi funzionale.
Lo stesso si può fare sulle varietà, anche se ne so molto poco!
